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Enigmo 232 : Traversée hasardeuse

Posté par
jamo Moderateur
06-02-11 à 13:07

Bonjour tout le monde,

pour fêter la Chandeleur, notre brave Homer a abusé du cidre !

Pour rentrer chez lui, il doit traverser un petit pont, représenté sur la figure ci-dessous.
Il part du point rouge de la rive du dessous et doit rejoindre la rive du dessus, sur l'un des points verts.

Par contre, étant donné son état d'ébriété avancé, sa manière de se déplacer est un peu particulière.
Quand il est sur une case, son prochain pas peut le conduire à l'une des 3 cases située au dessus : celle directement au-dessus, et celles situées au-dessus à droite et à gauche (ces 3 possibilités sont schématisées par les 3 flèches vertes).

Chacun des trois déplacements possibles a une probabilité de 1/3.

Le pont a une largeur de 3 cases et une longueur de 5 cases, et s'il est sur un bord et qu'il fait un pas du mauvais côté, il tombe à l'eau et c'est terminé !

Rappelons que le départ se fait du point rouge et que les cases d'arrivée possibles sont celles qui contiennent un point vert.

Question : quelle est la probabilité qu'Homer arrive sain et sauf sur l'autre rive ?

Je veux la valeur exacte pour la probabilité, c'est-à-dire un nombre entre 0 et 1, sous la forme d'une fraction irréductible ou d'un décimal si elle tombe juste.

Bonne recherche !

Enigmo 232 : Traversée hasardeuse

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 06-02-11 à 13:35

gagnéBonjour Jamo,

La probabilité que Homer arrive sain et sauf sur l'autre rive (hors cirrhose foudroyante, écroulement du pont, attaque de mouettes ...) est à mon avis :  4$\red\frac{11}{27}

Posté par
totti1000
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 06-02-11 à 13:47

perduBonjour jamo,

Je trouve une probabilité qu'il arrive sain et sauf, égale à \frac{297}{337}.

Merci.

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 06-02-11 à 13:57

gagnéJe trouve une probabilité de 11/27 pour qu'Homer arrive sain et sauf...

Posté par
caylus
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 06-02-11 à 14:34

gagnéBonjour Jamo,

11/27
Merci pour l'énigmo.

Posté par
dpi
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 06-02-11 à 15:13

perduBonjour,

Je trouve que le brave Homer a une probabilité
d'arriver sur un des 5 plots verts de 0.2846

Posté par
geo3
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 06-02-11 à 15:40

gagnéBonjour
Je dirais 11/27
A+

Posté par
Eric1
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 06-02-11 à 16:01

perduBonjour
p=(99+2*(70+29))/(99+2(1+2+5+12+29+70))
=297/337

Enigmo 232 : Traversée hasardeuse

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 06-02-11 à 16:03

gagnéBonjour Jamo.
La probabilité est 11/27.
Méthode :
dans chaque case, on inscrit le nombre de façon d'y arriver sans être tombé dans la rivière auparavant; les premières cases contiennent 1; chaque autre case contient la somme des nombres se trouvant au-dessous d'elle, directement ou en diagonale
on inscrit donc successivement :
1 1 1
2 3 2
5 7 5
12 17 12
29 41 29
(29+41+29)/35 = 11/27

Posté par
LeDino
Bonjour 06-02-11 à 18:42

gagnéBonjour,

La probabilité qu'Homer arrive sain et sauf sur l'autre rive est de 11/27.

Explication : On remplit simplement un tableau des probabilités d'arriver sur chaque case atteignable (voir schéma ci-dessous). La somme des cases d'arrivée fournit la probabilité cherchée.

Bonjour

Posté par
Rodival
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 06-02-11 à 19:05

gagnéBonjour/Bonsoir,

Je pense que Homer a 11/27 chances d'arriver sur un point vert.

... qui ne sera juste que si ce raisonnement l'a été ...

La probabilité d'aller sur une des cases suivantes (y compris à coté du pont) étant de 1/3, la probabilité d'arriver sur une case est la somme du tiers des probabilités d'être arrivé sur une des cases y menant.

Avec :
i=0 l'indice de la ligne du point rouge,
i=6 celui de la ligne des points verts,
B(i) la probabilité d'arriver sur une case du bord du pont,
M(i) celle d'arriver sur une case du milieu du pont,
P(i) la probabilité d'arriver sur la ligne i du pont,

on a par récurrence :
B(0) = 0 ; M(0) = 1 ; (position de départ d'Homer)
B(n+1) = B(n)/3 + M(n)/3 ; (deux cases y mènent)
M(n+1) = 2*B(n)/3 + M(n)/3 ; (trois cases y mènent)
P(n+1) = 2*B(n+1) + M(n+1) = 4*B(n)/3 + M(n) = P(n) - 2*B(n)/3

La probabilité d'arriver sur les points verts est égale à celle d'arriver sur les cases de la ligne 5 du pont, soit P(5)=2*B(5)+M(5).
Ce qui donne, avec B(5)=29/243 et M(5)=41/243, le résultat :
(41 + 2*29) / 243 = 99/243 = 11/27 proche de 40,74%.

Merci pour vos énigmes.

Posté par
Nyavlys
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 06-02-11 à 20:26

gagné11/27

Posté par
Jalex
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 06-02-11 à 20:30

gagnéBonjour Jamo

Je trouve 11/27

Posté par
Livia_C
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 06-02-11 à 21:43

perduBonsoir,
163/243
Merci pour l'énigme

Posté par
daxtero
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 07-02-11 à 01:43

perdu144/243

Posté par
daxtero
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 07-02-11 à 01:45

perduOops, j'ai indiqué par mégarde ces chances de finir à l'eau : la probabilité recherchée est donc 99/243

Posté par
evariste
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 07-02-11 à 09:18

gagnéla probabilité qu'Homer arrive sain et sauf sur l'autre rive est 11/27

Posté par
Hemmy
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 07-02-11 à 09:53

gagnéJe pense que la probabilité qu'il arrive est de 99/243= 11/27

Posté par
gloubi
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 07-02-11 à 11:59

gagnéBonjour jamo,

Probabilité qu'Homer arrive sur l'autre rive: 11/27.

Merci pour l'Enigmo.  

Posté par
natylilou
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 07-02-11 à 12:41

gagnéBonjour,
en raisonnant avec un "arbre de probabilité", on obtient une probabilité de 11/27 pour que Homer arrive sain et sauf sur l'autre rive.

il a une probabilité de 29/729 d'arriver sur les cases extérieures, de 70/729 sur les 2èmes cases,et de 99/729 sur la case centrale. Cela fait une probabilité totale de 297/729qui se simplifie en 11/27.

La probabilité qu'il tombe à l'eau est un peu plus grande, elle est de 16/27 (soit 216/729).

Pauvre Homer, il ne faut pas abuser de la bière, tu as de grandes chances de ne pas passer le pont..

Posté par
torio
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 07-02-11 à 12:48

perduProb = 239/729

A+
Torio

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 07-02-11 à 16:09

gagnébonjour

personnellement, je dirais 11/27

MM

Posté par
franz
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 08-02-11 à 08:49

gagnéLa probabilité qu'il arrive sain et sauf sur l'autre rive est de 4$\frac{11}{27}

Posté par
carpissimo
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 08-02-11 à 15:02

perduSalut,

Je dirais 3/8eme de chance de traverser.

@++

Posté par
pierredu26
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 08-02-11 à 19:20

perduje pense qu'il faut faire:
7/9 puissance 4 car à chaque fois, il a une chance de tomber à gauche et une chance de tomber à droit pour 7 chance de rester de rester sauf au premier où il reste obligatoirement sue le pont.
Ca fait 2401/6561

Posté par
ksad
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 09-02-11 à 11:27

gagnéBonjour
Je crains que notre pauvre Homer ait plus de chances de finir à l'eau qu'au sec !
En effet, d'après mes calculs il n'aurait qu'une probabilité de 11/27 d'arriver sain et sauf.
merci et à bientôt

Posté par
Labo
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 09-02-11 à 15:26

perduBonjour Jamo,
\red p=15/17
sauf erreur
nombre de parcours 340
nombre de chutes possibles 40
p=300/340=15/17
merci pour l' énigme

Posté par
1emeu
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 09-02-11 à 17:02

gagnéBonjour,

sauf erreurs de calcul, la probabilité qu'Homer arrive sain et sauf est 11/27.


Une petite généralisation pour un pont de longueur n et de largeur 3 en modélisant le problème par une chaine de Markov et en diagonalisant sa matrice de transition:
la probabilité qu'Homer arrive sain et sauf est
1-1/2\,{\frac {-4+2\,\sqrt {2}+ \left( 1/3+1/3\,\sqrt {2} \right) ^{n}\sqrt {2}-3\,\sqrt {2} \left( 1/3-1/3\,\sqrt {2} \right) ^{n}+4\, \left( 1/3-1/3\,\sqrt {2} \right)^{n}}{-2+\sqrt {2}}}
cette formule doit pouvoir se simplifier mais Maple n'y arrive pas directement et je n'ai pas le courage de le faire à la main ...


Merci pour l'énigme ,

1emeu

Posté par
petitboris
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 10-02-11 à 00:12

perduLa probabilité qu'Homer arrive à bon port est de 23/27.

Posté par
Labo
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 10-02-11 à 09:41

perduBonjour Jamo,
Un   bien mérité :
les chutes ne sont pas équiprobables ...
p=1-(\fr{2}{3^2}+\fr{4}{3^3}+\fr{10}{3^4}+\fr{24}{3^5})=\fr{13}{27}.

Posté par
gillesmarseille
ma réponse 11-02-11 à 23:20

gagnéserait-ce 11/27 ?

Posté par
mars97
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 13-02-11 à 13:02

perduJe trouve 160/179 0.894

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 13-02-11 à 18:26

gagnéBonjour,

Voici ma réponse :

La probabilité qu'Homer arrive sain et sauf sur l'autre rive est \frac{11}{27}.

Démonstration :

Considérons un graphe stochastique à 4 états où l'état 1 est la case de gauche sur le pont, l'état 2 est la case du milieu, l'état 3 est la case de droite et l'état 4 est l'eau. On a alors la matrice de transition suivante :


 \\  T = \begin{pmatrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
 \\

Considérons que le pont soit constitué de 5 lignes, on note

P_n = (p_{n,1} p_{n,2} p_{n,3} p_{n,4})_{n}

p_{n,i} est la proababilité q'Homer se trouve à l'état i à la ligne n.

On a donc

P_1 = (\frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} 0)

et la relation de récurrence

P_{n+1} = P_n T

Avec cela on calcul P_5. On a

P_5 = (\frac{29}{243} \frac{41}{243} \frac{29}{243} \frac{16}{27})

Ainsi la probabilité cherchée est

1 - \frac{16}{27} = \frac{11}{27}

Merci.

Enigmo 232 : Traversée hasardeuse

Posté par
lo5707
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 13-02-11 à 19:30

gagnéBonjour,

Je trouve une probabilité de 297/729 = 11/27

Enigmo 232 : Traversée hasardeuse

merci pour cette énigme

Posté par
remil1ben
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 13-02-11 à 19:43

perdu163 / 243
Merci!

Posté par
infophile
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 13-02-11 à 21:31

gagnéBonjour,

La probabilité qu'a Homer d'arriver sain et sauf est de 3$ \red \frac{11}{27}\approx 0,407

On peut plus généralement calculer cette probabilité pour un pont de longueur n quelconque :

3$ P_n=\(\frac{1}{3}\)^n[\(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\)(1+\sqrt{2})^{n-1}+\(\frac{3}{2}-\sqrt{2}\)(1-\sqrt{2})^n\]\sim \(\frac{1+\sqrt{2}}{3}\)^{n-1}

Pour un pont de longueur supérieure à 12 Homer a moins d'une chance sur 10 d'arriver au bout, et à partir d'une longueur supérieure à 22 il a moins d'une chance sur 100

Merci pour l'énigme

Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 13-02-11 à 21:41

perduBonsoir jamo,

La probabilité qu'Homer arrive sain et sauf sur l'autre rive est de 7/15 soit
0,466
.

Posté par
yoruichi_26
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 15-02-11 à 23:50

perduBonjour Jamo,

Je propose une probabilité de 297/337.

Merci.

Posté par
remil1ben
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 16-02-11 à 10:59

perdubonjour.
Ma réponse: 41/81

Posté par
eisenberg
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 16-02-11 à 14:39

perdubonjour,

j'ai trouvé 105/243=0.43 soit 43% de chance d'arriver à bon port (je ne suis pas très sur)


merci

Posté par
mwek
Réponse 18-02-11 à 00:31

gagnéSalut tout le monde.
Réponse:
11/27

Posté par
ming
traversée 18-02-11 à 19:21

perdu41/81

Posté par
mwek
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 18-02-11 à 20:39

gagnéSalut tout le monde.
Plus généralement, pour une longueur de n cases, et pour la même largeur de pont, la probabilité est:
Pn=(3/2)*{[(1+2)/3]n+1+[(1-2)/3]n+1}

Ici, n=5 et on trouve P5=11/27

La notion principale à connaître est celle des suites de Fibonacci.
La relation de récurrence de second ordre à trouver nécessite par ailleurs une capacité à savoir jongler avec les différentes suites immédiatement reliées à ce problème.

Quelques vérifications sont rassurantes:
D'abord, Pn1 pour tout n de*.
Ensuite, P0=P1=1, ce qui est cohérent si la longueur est 0 ou 1.
De plus, Pn est décroissante, ce qui est convainquant.
Enfin, bien noter qu'évidemment, Pn est de plus en plus proche de 0 à mesure que n grandit, ce qui est naturel:
Plus le pont est long, et moins le pauvre Homer peut espérer traverser le pont sain et sauf.

PS:
La longueur n=5 est bien choisie: ce n'est en effet qu'à partir de n=5 que Pn devient inférieure à 50%
P4=41/81 > 0,5 et P5=11/27 < 0,5.
Hasard?  

Posté par
Rainbow14
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 19-02-11 à 13:15

gagné\frac{11}{27}

Posté par
Aurelien_
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 23-02-11 à 15:58

perduBonjour,

La probabilité qu'il réussisse est d'exactement 11/81 (moins d'une chance sur 7, aïe aïe aïe !!!)

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 25-02-11 à 09:40

Clôture de l'énigme

La bonne réponse était : 11/27.

Pour résoudre ce petit problème de probabilités, on pouvait y arriver avec un peu d'organisation en écrivant la probabilité pour chaque case, puis en finissant par quelques additions.

Pour approfondir, on peut aussi établir les formules qui donnent les probabilités pour chaque case. On tombe sur un petit système différentiel qu'il est possible de résoudre et on peut même exprimer les formules générales en fonction du nombres de pas effectués.

Bref, bravo à ceux qui ont trouvé la bonne réponse, et pour certain d'entre vous, revoyez vos calculs, il doit y trainer quelques petites erreurs.

Posté par
Louisa59
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 25-02-11 à 10:22

Bonjour

à tous, très intéressant.

Pourquoi evariste n'a pas eu de

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 25-02-11 à 10:31

J'avais oublié de le noter ... voilà c'est fait.

Posté par
fravoi
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 25-02-11 à 10:49

Je me suis dit qu'il y avait un piège car cette énigme est notée 3 étoiles,et j'aurais dû quand même jouer car j'avais la bonne réponse !
Je ferais sûrement les énigmes de mars,mais plus celles de février (j'arrive trop tard ) ou peut-être encore celle de TRON.

Posté par
Louisa59
re : Enigmo 232 : Traversée hasardeuse 25-02-11 à 11:08

Citation :
J'avais oublié de le noter ... voilà c'est fait.
jamo

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