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Enigmo 247 : les nombres d'Albert

Posté par
jamo Moderateur
12-07-11 à 10:38

Bonjour tout le monde,

dans cette énigme, on appelle "nombre d'Albert" un nombre N strictement supérieur à 2 qui s'écrit sous la forme N = m \times c^2, où m et c sont des nombres premiers distincts.

Par exemple, les nombres suivants sont des nombres d'Albert :

363 = 3 \times 11^2
 \\ 722 = 2 \times 19^2
 \\ 1813 = 37 \times 7^2

Question : Trouver trois nombres d'Albert consécutifs.

Pour la réponse, vous donnerez les 3 nombres avec leurs décompositions.

Si vous pensez que le problème est impossible, alors vous répondrez "problème impossible".

Bonne recherche !

PS : et si le coeur vous en dit, pourquoi ne pas chercher 4, 5, ... nombres d'Albert consécutifs !

Enigmo 247 : les nombres d\'Albert

Posté par
totti1000
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 12-07-11 à 11:04

gagnéBonjour jamo,

Je propose :

603=67

604=151

605=511².

Merci.

Posté par
frenicle
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 12-07-11 à 11:09

gagnéBonjour jamo

Je propose :

16097137 = 328513 72, 16097138 = 2 28372, 16097139 = 1788571 32

Merci pour l'enigmo

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 12-07-11 à 11:52

gagnéJe trouve 603=67*32, 604=151*22 et 605=5*112

Posté par
dpi
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 12-07-11 à 12:50

perduBonjour,

Je pense que l'on n'en trouvera pas
* un multiple de  2 serait nécéssairement au milieu
les deux autres seraient forcémént impairs.
je devrai démonter que pq²-rs² ne peut égaler 2 avec
p q r et s premiers.

Pour mémoire je donne trois Alberts se suivant:
2 x 7²=98         avec 11 x 3² = 99
2 x 109²=23762    avec 3 x 89² =23763
193  x 17² =55777 avec  2 x 167² =55778

Posté par
Rumbafan
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 12-07-11 à 13:25

gagnéBonjour Jamo,

Je propose la solution suivante

7442 = 2 * 61^2
7443 = 827 * 3^2
7444 = 1861 * 2^2

Ce ne fut pas évident mais les sheet functions d'EXCEL sont puissantes...

Encore merci pour tous ces défis

A+

Posté par
frenicle
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 12-07-11 à 13:26

gagnéHoulà, pourquoi faire si compliqué alors qu'il y avait tout simplement :

603 = 67 32, 604 = 151 22, 605 = 5 112

Posté par
geo3
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 12-07-11 à 13:50

gagnéBonjour
J'ai trouvé :
603 = 67.3²
604 = 151.2²
605 = 5.11²

A+

Posté par
LeDino
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 12-07-11 à 15:00

gagnéBonjour,

Je propose le triplet albertien consécutif suivant :
2523 = 3 x 29²
2524 = 631 x 2²
2525 = 101 x 5²

La méthode adoptée étant indigne de l'inspirateur de l'énigme, je la passerai sous silence ...
Merci pour la récréation.

Posté par
rezoons
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 12-07-11 à 15:20

gagnéBonjour ,

je propose:
603=67*3^2
 \\ 604=151*2^2
 \\ 605=5*11^2

Posté par
dpi
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 12-07-11 à 18:37

perduRebonjour,

J'ai répondu plus haut que le problème était impossible
donc je devrais échapper au poisson...

Mais je tenais à le démontrer:

* si il y en avait 3 nous aurions avec p,q,r,s, et t premiers
A =pq²
B =2t²
C= rs²
*or pq²+1 =2t² =rs²-1
donc pq²+rs²=2 x(2t²)=4t²

Il ne peut y avoir de B qui soit multiple de 4
Donc pas de 3 alberts succesifs.
Encore moins 4 puisqu'ily aurait deux pairs

Posté par
LO_RV
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 12-07-11 à 18:40

perduJ'ai trouvé 98 = 2x7² , 99 = 11x3² , 100 = 25x2².
J'ai pas plus petit.

Pour quatre, j'ai 242 = 2x11² , 243 = 3x9² , 244 = 61 x2² , 245 = 5*7².

Je n'ai pas cherché plus loin, mais on doit pouvoir trouver aussi pour cinq ou plus.

Bonne soirée.

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 12-07-11 à 19:54

perduSalut jamo,

je trouve le triplet:

475=5^2\times 17
 \\ 476=4^2\times 119
 \\ 477=3^2\times 53

Merci pour l'énigme

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 12-07-11 à 19:55

perduJe voulais bien sûr écrire 476=2^2\times 119=4\times 119

Posté par
caylus
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 12-07-11 à 20:05

gagnéBonjour Jamo,
Voici trois nombres naturels consécutifs et en plus d'Albert:
603,604,605
(C'était le 21 juillet qu'il fallait poster cette énigme)
Qui ont pour décomposition:
603 = 67.3²
604=151.2²
605= 5.11²
Merci pour l'énigmo.

Posté par
Lezmon
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 12-07-11 à 20:52

perduBonjour, (je ne sais pas si j'ai bien compris ce que sont des nombres consécutif):

12 = 3*2² = 3+4+5
18 = 2*3² = 5+6+7
45 = 5*3² = 14+15+16

Posté par
yoruichi_26
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 13-07-11 à 01:50

gagnéSalut Jamo,

Je propose les nombres suivants :

603, 604 et 605
603=67
604=151
605= 511²

Merci.

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 13-07-11 à 06:38

gagnéBonjour Jamo.
4923 = 547 x 3²
4924 = 1231 x 2²
4925 = 197 x 5²

Posté par
sona
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 13-07-11 à 08:22

gagnéBonjour Jamo

25523*3^2=229707
57427*2^2=229708
29*89^2=229709

Posté par
basilide
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 13-07-11 à 14:06

perduBonjour à tous,

Je crois qu'avec 4 nombres d'Albert consécutifs, on peut trouver deux solutions de l'énigmes :
242 = 2*112
243 = 3*92
244 = 61*22
245 = 5*72


Pour le cas de 5 nombres d'Albert consécutifs, je crois que c'est impossible...

A+

Posté par
castoriginal
Enigmo 247 : les nombres d'Albert 13-07-11 à 15:58

gagnéBonjour,

je vous propose les nombres suivants:


N1= 10467  = 1163*32

N2= 10468  = 2617*22

N3= 10469  = 29*192

Bien à vous

Posté par
castoriginal
Enigmo 247 : les nombres d'Albert 14-07-11 à 09:38

gagnéBonjour,

apparemment, il n'y a pas de nombres d'Albert consécutifs en série supérieure à trois.

Posté par
torio
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 16-07-11 à 07:59

gagné603 = 3*3*67
604 = 2*2*151
605 = 5*11*11


A+
Torio

Posté par
Pantagruel
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 16-07-11 à 19:31

gagnéBonjour tout le monde
Je propose ceci:
61² *    2 = 7442
  3² *  827 = 7443    
  2² * 1861 = 7444

Posté par
kemlicz
Réponse 18-07-11 à 14:16

gagnéBonjour
603 = 67 * 3²
604 = 151 * 2²
605 = 5 * 11²

Posté par
nesma
enigme 18-07-11 à 15:04

perdu"problème impossible"

Posté par
rijks
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 18-07-11 à 15:55

gagnéBonjour,
j'ai trouvé 4 séries de 3 dans la limite que je me suis imposé à savoir le plus grand nombre premier vaut 1289 :

603=3²x67
604=2²x151
605=11²x5

2523=29²x3
2524=2²x631
2525=5²x101

4203=3²x467
4204=2²x1051
4205=29²x5

4923=3²x547
4924=2²x1231
4925=5²x197

Posté par
buck92
Nombres d'Albert 19-07-11 à 11:55

gagnéBonjour,
603=67*3^2
604=151*2^2
605=5*11^2
Il y a certainement beaucoup d'autres solutions à 3 nombres.
Il peut y en avoir avec 4 nombres mais alors les 2 nombres pairs de la solution sont obligatoirement de la forme 2*p^2 pour l'un et 4p' pour l'autre (p et p' étant des nombres premiers).
Il n'y a pas de solution mettant en oeuvre 3 nombres d'Albert pairs, donc solutions possibles à 4 ou 5 nombres, mais pas à partir de 6.

Merci pour l'énigme.

Posté par
Jun_Milan
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 19-07-11 à 19:13

gagnéBonjour,

Trois nombres d'Albert consecutifs: 603 - 604 - 605. Voici leur decomposition:
603=67*32
604=151*22
605=5*112

Il semblerait que cette suite est forme par 3 nombres d'Albert tel que ces nombres sont consecutifs et les plus petits possibles.


Merci.

Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 20-07-11 à 17:40

gagnéBonjour jamo,

7442 = 2 * 61²
7443 = 827 * 3²
7444 = 1861 * 2²


Merci pour l' énigmo.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 22-07-11 à 18:54

gagnéBonjour jamo,
Voici ma récolte :

603=3672
604=15122
605=5112

2523=3292
2524=63122
2525=101352

4203=46732
4204=105122
4205=5292

4923=54732
4924=123122
4925=19752

7442=2612
7443=82732
7444=186122

10467=116332
10468=261722
10469=29192

Posté par
etienne
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 24-07-11 à 20:53

gagnéBonjour,

Je trouve 603=3*3*67;
604=2*2*151;
605=5*11*11;

L'explication arrive dans le prochain post

Merci pour l'énigme.

Posté par
etienne
Explication de la méthode 24-07-11 à 21:07

gagnéEn fait, j'ai utilisé Maple pour tester tous les nombres de 5 à  10 000.

D'abord ce programme me renvoie la décomposition en facteurs premiers sous forme d'un tableau :
> diviseur:=proc(x_0)
> local k,x,i,E,n;
> x:=x_0;
> i:=1;
> E:=array(1..x_0);
> for n from 1 to x_0 do E[n]:=0; end do;
> k:=2;
> while k<=x do
>    while irem(x,k)=0 do
>       E[i]:=k;
>       i:=i+1;
>       x:=iquo(x,k);
>    end do;
>    k:=k+1;
> end do;
> return E;
> end proc;

Puis ce programme teste si j'ai un nombre de d'Alembert :
> isAlembert:=proc(x)
> local E;
> E:=diviseur(x);
> if E[3]<>0 and E[4]=0 then                     # test : seulement 3 diviseurs premiers
>    if E[1]<>E[3] then                              # test : 1er et 3ème diviseur différents
>       if E[1]=E[2] or E[2]=E[3] then          # test : un diviseur d'ordre 2
>          return true;
>       end if;
>    end if;
> end if;
> return false;
> end proc;

Puis j'ai testé pour k variant de 5 à 10 000 si k, k+1 et k+2 sont des nombres de d'Alembert.

Posté par
ksad
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 25-07-11 à 16:38

gagnébonjour,

voici une tentative: 603 / 604 / 605 peut se décomposer comme suit:
603 = 67 x 3²
604 = 151 x 2²
605 = 5 x 11²

on trouve encore d'autres séquences comme
- 2523 / 2524 / 2525,
- 4203 / 4204 / 4205,
- 4923 / 4924 / 4925,
...
- 79011 / 79012 / 79013,
- 97675 / 97676 / 97677
...

je ne sais pas pourquoi, mais quelque chose me dit que pour 4 nombres consécutifs les choses vont être sacrément plus compliquées... en tout cas, en dessous de 200.000 je n'ai trouvé aucune séquence satisfaisante.
merci encore et à bientôt !

Posté par
Axel24
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 26-07-11 à 02:21

perduSalut !
On cherche a,b et f tels que :
a= mc², b = nd² et f= oe² avec m,c,n,d,o,e premiers et tels que b=a+1, f=b+1.

Cas où a est pair

Si a est pair, 2 divise m ou 2 divise c (via Gauss). Comme m et c sont premiers, l'un des deux vaut exactement 2. Donc a est de la forme a = 4m ou a=2c² avec c premier et c différent de 2. Dans ce cas f est également pair et f est de la forme, f=2e² ou f=4o avec e différent de 2 et o différent de 4.

         Si a = 4m et f=2e², on a 2e²=4m+2 puis e²= 2m+1. puis 2m=(e-1)(e+1). Or e est différent de 2 et de 1 (car sinon m=0 et on a déjà o=2). Donc e+1>2 et e+1 divise 2m. Donc e+1 divise m.  Comme m est premier,
e+1=m et e-1 = 2. Puis e=3. o valant 2, f=18, b=17 et a=16. on alors m=8 Contradiction

Ainsi si a=4m, f=4o.
Dans ce cas, on a 4o=4m+2 et donc 2o=2m+1 o et m sont premiers donc o et m sont impairs donc 2o est pair et 2m+1 est impair. Contradiction.

On en conclut que si a est pair, a est de la forme 2c². Si f est de la forme 2e², on a 2e²+2=2c², soit, e²+1= c², puis e²=(c-1)(c+1) Contradiction avec e premier.  
Donc si a est pair, a est de la forme 2c² et f = 4o. On a alors 4o=2c²+2, puis 2o= c²+1
b=a+1=2c²+1.

D'où c²+1=2o
et   2c²+1=nd²
n et d sont supérieurs 2 car b impair, donc b supérieur à 45.
En faisant varier n et d, je n'ai pas trouvé de valeur numérique pour l'instant,je reteste demain !

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 26-07-11 à 15:06

gagnéBonjour Jamo,

Je n'ai trouvé que quatre triplets "albertiens" :

\small 603\ =\ 67\,\times\,3^2\quad;\quad 604\ =\ 151\,\times\,2^2\quad;\quad 605\ =\ 5\,\times\,11^2

\small 2523\ =\ 3\,\times\,29^2\quad;\quad 2524\ =\ 631\,\times\,2^2\quad;\quad 2525\ =\ 101\,\times\,5^2

\small 4203\ =\ 467\,\times\,3^2\quad;\quad 4204\ =\ 1051\,\times\,2^2\quad;\quad 4205\ =\ 5\,\times\,29^2

\small 4923\ =\ 547\,\times\,3^2\quad;\quad 4924\ =\ 1231\,\times\,2^2\quad;\quad 4925\ =\ 197\,\times\,5^2

Je n'ai trouvé ni quadruplets, ni quintuplets, ni rien de mieux ...

En tous cas, merci à toi.

Posté par
pacou
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 28-07-11 à 00:10

gagnéBonsoir

Je propose:

2523=3\times 29^2

2524=631\times 2^2

2525=101\times 5^2

Posté par
Zied-Senju
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 28-07-11 à 12:05

perdu3 nombres d'Albert consécutifs sont :
0 = 0 * (1)2
1 = 1 * (1)2
2 = 2 * (1)2

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 30-07-11 à 11:22

Clôture de l'énigme

Le plus petit triplet était bien :

603 = 67 \times 3^2
 \\ 604 = 151 \times 2^2
 \\ 605 = 5 \times 11^2

Il existe des quadruplets, en voici un (mais je ne sais pas si c'est le plus petit) :

17042641441 = 347809009 \times 7^2
 \\ 17042641442 = 2 \times 92311^2
 \\ 17042641443 = 1893626827 \times 3^2
 \\ 17042641444 = 4260660361 \times 2^2

Voici un quintuplet :

10093613546512321 = 205992113194129 \times 7^2
 \\ 10093613546512322 = 2 \times 71040881^2
 \\ 10093613546512323 = 1121512616279147 \times 3^2
 \\ 10093613546512324 = 2523403386628081 \times 2^2
 \\ 10093613546512325 = 403744541860493 \times 5^2

Par contre, on peut montrer qu'on ne peut pas trouver de suite plus longue !

Posté par
basilide
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 03-08-11 à 07:09

perduBonjour Jamo,

J'ai trouvé :

242 = 2*11^2
243 = 3*9^2
244 = 61*2^2
245 = 5*7^2

Mais pourquoi m'as tu donné un POISSON ?

Posté par
rijks
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 03-08-11 à 08:54

gagnéBonjour basilide,
une des conditions de l'énigme, c'est que tout les nombres soient premiers, or 9 ne l'est pas...

Posté par
jandri Correcteur
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 09-08-11 à 17:50

Bonjour Jamo,

Tu as bien donné les plus petites solutions pour les triplets, quadruplets et quintuplets de nombres d'Albert consécutifs.
Il est facile de démontrer qu'il n'y a pas de suite plus longue car il y aurait nécessairement 3 nombres pairs consécutifs. En notant p,q,r des nombres premiers il y a deux cas:
soit 2p², 4q et 2r² qui est impossible car r²-p² ne peut être égal à 2.
soit 4p, 2q² et 4r qui est impossible car r-p ne peut être égal à 1.

Pour trouver le plus petit quintuplet on peut remarquer qu'il est de la forme:
a, 2p², b, 4q, c avec b=3r² ou b=9r.
En faisant varier p premier et en testant si (2p²+2)/4 est premier et si a,b,c sont des nombres d'Albert, j'ai obtenu en 2 heures avec Maple la plus petite solution (celle que tu as donnée):
7^2*205992113194129, 2*71040881^2, 3^2*1121512616279147, 2^2*2523403386628081, 5^2*403744541860493.

Même chose pour le plus petit quadruplet avec deux cas: a, 2p², b, 4q ou bien 2p², a, 4q, b.

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 09-08-11 à 19:52

Citation :
Il est facile de démontrer qu'il n'y a pas de suite plus longue car il y aurait nécessairement 3 nombres pairs consécutifs. En notant p,q,r des nombres premiers il y a deux cas:
soit 2p², 4q et 2r² qui est impossible car r²-p² ne peut être égal à 2.
soit 4p, 2q² et 4r qui est impossible car r-p ne peut être égal à 1.


On peut aussi expliquer la chose ainsi :

S'il y avait 6 nombres consécutifs, l'un serait forcément multiple de 6, qui se décompose en 2*3 ... et voilà !

Posté par
jandri Correcteur
re : Enigmo 247 : les nombres d'Albert 09-08-11 à 21:42

Effectivement, c'est beaucoup plus simple avec cette observation!

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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