Bonjour jamo,

Je propose :

603=673²

604=1512²

605=511².

Merci.

Bonjour jamo

Je propose :

16097137 = 328513 7², 16097138 = 2 2837², 16097139 = 1788571 3²

Merci pour l'enigmo

Je trouve 603=67*3², 604=151*2² et 605=5*11²

Bonjour,

Je pense que l'on n'en trouvera pas
* un multiple de  2 serait nécéssairement au milieu
les deux autres seraient forcémént impairs.
je devrai démonter que pq²-rs² ne peut égaler 2 avec
p q r et s premiers.

Pour mémoire je donne trois Alberts se suivant:
2 x 7²=98         avec 11 x 3² = 99
2 x 109²=23762    avec 3 x 89² =23763
193  x 17² =55777 avec  2 x 167² =55778

Bonjour Jamo,

Je propose la solution suivante

7442 = 2 * 61^2
7443 = 827 * 3^2
7444 = 1861 * 2^2

Ce ne fut pas évident mais les sheet functions d'EXCEL sont puissantes...

Encore merci pour tous ces défis

A+

Houlà, pourquoi faire si compliqué alors qu'il y avait tout simplement :

603 = 67 3², 604 = 151 2², 605 = 5 11²

Bonjour
J'ai trouvé :
603 = 67.3²
604 = 151.2²
605 = 5.11²
A+

Bonjour,

Je propose le triplet albertien consécutif suivant :
2523 = 3 x 29²
2524 = 631 x 2²
2525 = 101 x 5²

La méthode adoptée étant indigne de l'inspirateur de l'énigme, je la passerai sous silence ...
Merci pour la récréation.

Bonjour ,

je propose:

Rebonjour,

J'ai répondu plus haut que le problème était impossible
donc je devrais échapper au poisson...

Mais je tenais à le démontrer:

* si il y en avait 3 nous aurions avec p,q,r,s, et t premiers
A =pq²
B =2t²
C= rs²
*or pq²+1 =2t² =rs²-1
donc pq²+rs²=2 x(2t²)=4t²

Il ne peut y avoir de B qui soit multiple de 4
Donc pas de 3 alberts succesifs.
Encore moins 4 puisqu'ily aurait deux pairs

J'ai trouvé 98 = 2x7² , 99 = 11x3² , 100 = 25x2².
J'ai pas plus petit.

Pour quatre, j'ai 242 = 2x11² , 243 = 3x9² , 244 = 61 x2² , 245 = 5*7².

Je n'ai pas cherché plus loin, mais on doit pouvoir trouver aussi pour cinq ou plus.

Bonne soirée.

Salut jamo,

je trouve le triplet:



Merci pour l'énigme

Je voulais bien sûr écrire

Bonjour Jamo,
Voici trois nombres naturels consécutifs et en plus d'Albert:
603,604,605
_{(C'était le 21 juillet qu'il fallait poster cette énigme)}
Qui ont pour décomposition:
603 = 67.3²
604=151.2²
605= 5.11²
Merci pour l'énigmo.

Bonjour, (je ne sais pas si j'ai bien compris ce que sont des nombres consécutif):

12 = 3*2² = 3+4+5
18 = 2*3² = 5+6+7
45 = 5*3² = 14+15+16

Salut Jamo,

Je propose les nombres suivants :

603, 604 et 605
603=673²
604=1512²
605= 511²

Merci.

Bonjour Jamo.
4923 = 547 x 3²
4924 = 1231 x 2²
4925 = 197 x 5²

Bonjour Jamo

25523*3^2=229707
57427*2^2=229708
29*89^2=229709

Bonjour à tous,

Je crois qu'avec 4 nombres d'Albert consécutifs, on peut trouver deux solutions de l'énigmes :
242 = 2*11²
243 = 3*9²
244 = 61*2²
245 = 5*7²

Pour le cas de 5 nombres d'Albert consécutifs, je crois que c'est impossible...

A+

Bonjour,

je vous propose les nombres suivants:


N1= 10467  = 1163*3²

N2= 10468  = 2617*2²

N3= 10469  = 29*19²

Bien à vous

Bonjour,

apparemment, il n'y a pas de nombres d'Albert consécutifs en série supérieure à trois.

603 = 3*3*67
604 = 2*2*151
605 = 5*11*11


A+
Torio

Bonjour tout le monde
Je propose ceci:
61² *    2 = 7442
  3² *  827 = 7443    
  2² * 1861 = 7444

Bonjour
603 = 67 * 3²
604 = 151 * 2²
605 = 5 * 11²

"problème impossible"

Bonjour,
j'ai trouvé 4 séries de 3 dans la limite que je me suis imposé à savoir le plus grand nombre premier vaut 1289 :

603=3²x67
604=2²x151
605=11²x5

2523=29²x3
2524=2²x631
2525=5²x101

4203=3²x467
4204=2²x1051
4205=29²x5

4923=3²x547
4924=2²x1231
4925=5²x197

Bonjour,
603=67*3^2
604=151*2^2
605=5*11^2
Il y a certainement beaucoup d'autres solutions à 3 nombres.
Il peut y en avoir avec 4 nombres mais alors les 2 nombres pairs de la solution sont obligatoirement de la forme 2*p^2 pour l'un et 4p' pour l'autre (p et p' étant des nombres premiers).
Il n'y a pas de solution mettant en oeuvre 3 nombres d'Albert pairs, donc solutions possibles à 4 ou 5 nombres, mais pas à partir de 6.

Merci pour l'énigme.

Bonjour,

Trois nombres d'Albert consecutifs: 603 - 604 - 605. Voici leur decomposition:
603=67*3²
604=151*2²
605=5*11²

_{Il semblerait que cette suite est forme par 3 nombres d'Albert tel que ces nombres sont consecutifs et les plus petits possibles.}

Merci.

Bonjour jamo,

7442 = 2 * 61²
7443 = 827 * 3²
7444 = 1861 * 2²

Merci pour l' énigmo.

Bonjour jamo,
Voici ma récolte :

603=367²
604=1512²
605=511²

2523=329²
2524=6312²
2525=10135²

4203=4673²
4204=10512²
4205=529²

4923=5473²
4924=12312²
4925=1975²

7442=261²
7443=8273²
7444=18612²

10467=11633²
10468=26172²
10469=2919²

Bonjour,

Je trouve 603=3*3*67;
604=2*2*151;
605=5*11*11;

L'explication arrive dans le prochain post

Merci pour l'énigme.

En fait, j'ai utilisé Maple pour tester tous les nombres de 5 à  10 000.

D'abord ce programme me renvoie la décomposition en facteurs premiers sous forme d'un tableau :
> diviseur:=proc(x_0)
> local k,x,i,E,n;
> x:=x_0;
> i:=1;
> E:=array(1..x_0);
> for n from 1 to x_0 do E[n]:=0; end do;
> k:=2;
> while k<=x do
>    while irem(x,k)=0 do
>       E[i]:=k;
>       i:=i+1;
>       x:=iquo(x,k);
>    end do;
>    k:=k+1;
> end do;
> return E;
> end proc;

Puis ce programme teste si j'ai un nombre de d'Alembert :
> isAlembert:=proc(x)
> local E;
> E:=diviseur(x);
> if E[3]<>0 and E[4]=0 then                     # test : seulement 3 diviseurs premiers
>    if E[1]<>E[3] then                              # test : 1er et 3ème diviseur différents
>       if E[1]=E[2] or E[2]=E[3] then          # test : un diviseur d'ordre 2
>          return true;
>       end if;
>    end if;
> end if;
> return false;
> end proc;

Puis j'ai testé pour k variant de 5 à 10 000 si k, k+1 et k+2 sont des nombres de d'Alembert.

bonjour,

voici une tentative: 603 / 604 / 605 peut se décomposer comme suit:
603 = 67 x 3²
604 = 151 x 2²
605 = 5 x 11²

on trouve encore d'autres séquences comme
- 2523 / 2524 / 2525,
- 4203 / 4204 / 4205,
- 4923 / 4924 / 4925,
...
- 79011 / 79012 / 79013,
- 97675 / 97676 / 97677
...

je ne sais pas pourquoi, mais quelque chose me dit que pour 4 nombres consécutifs les choses vont être sacrément plus compliquées... en tout cas, en dessous de 200.000 je n'ai trouvé aucune séquence satisfaisante.
merci encore et à bientôt !

Salut !
On cherche a,b et f tels que :
a= mc², b = nd² et f= oe² avec m,c,n,d,o,e premiers et tels que b=a+1, f=b+1.

Cas où a est pair

Si a est pair, 2 divise m ou 2 divise c (via Gauss). Comme m et c sont premiers, l'un des deux vaut exactement 2. Donc a est de la forme a = 4m ou a=2c² avec c premier et c différent de 2. Dans ce cas f est également pair et f est de la forme, f=2e² ou f=4o avec e différent de 2 et o différent de 4.

         Si a = 4m et f=2e², on a 2e²=4m+2 puis e²= 2m+1. puis 2m=(e-1)(e+1). Or e est différent de 2 et de 1 (car sinon m=0 et on a déjà o=2). Donc e+1>2 et e+1 divise 2m. Donc e+1 divise m.  Comme m est premier,
e+1=m et e-1 = 2. Puis e=3. o valant 2, f=18, b=17 et a=16. on alors m=8 Contradiction

Ainsi si a=4m, f=4o.
Dans ce cas, on a 4o=4m+2 et donc 2o=2m+1 o et m sont premiers donc o et m sont impairs donc 2o est pair et 2m+1 est impair. Contradiction.

On en conclut que si a est pair, a est de la forme 2c². Si f est de la forme 2e², on a 2e²+2=2c², soit, e²+1= c², puis e²=(c-1)(c+1) Contradiction avec e premier.  
Donc si a est pair, a est de la forme 2c² et f = 4o. On a alors 4o=2c²+2, puis 2o= c²+1
b=a+1=2c²+1.

D'où c²+1=2o
et   2c²+1=nd²
n et d sont supérieurs 2 car b impair, donc b supérieur à 45.
En faisant varier n et d, je n'ai pas trouvé de valeur numérique pour l'instant,je reteste demain !

Bonjour Jamo,

Je n'ai trouvé que quatre triplets "albertiens" :









Je n'ai trouvé ni quadruplets, ni quintuplets, ni rien de mieux ...

En tous cas, merci à toi.

Bonsoir

Je propose:

3 nombres d'Albert consécutifs sont :
0 = 0 * (1)2
1 = 1 * (1)2
2 = 2 * (1)2

Clôture de l'énigme

Le plus petit triplet était bien :



Il existe des quadruplets, en voici un (mais je ne sais pas si c'est le plus petit) :



Voici un quintuplet :



Par contre, on peut montrer qu'on ne peut pas trouver de suite plus longue !

Bonjour Jamo,

J'ai trouvé :

242 = 2*11^2
243 = 3*9^2
244 = 61*2^2
245 = 5*7^2

Mais pourquoi m'as tu donné un POISSON ?

Bonjour basilide,
une des conditions de l'énigme, c'est que tout les nombres soient premiers, or 9 ne l'est pas...

Bonjour Jamo,

Tu as bien donné les plus petites solutions pour les triplets, quadruplets et quintuplets de nombres d'Albert consécutifs.
Il est facile de démontrer qu'il n'y a pas de suite plus longue car il y aurait nécessairement 3 nombres pairs consécutifs. En notant p,q,r des nombres premiers il y a deux cas:
soit 2p², 4q et 2r² qui est impossible car r²-p² ne peut être égal à 2.
soit 4p, 2q² et 4r qui est impossible car r-p ne peut être égal à 1.

Pour trouver le plus petit quintuplet on peut remarquer qu'il est de la forme:
a, 2p², b, 4q, c avec b=3r² ou b=9r.
En faisant varier p premier et en testant si (2p²+2)/4 est premier et si a,b,c sont des nombres d'Albert, j'ai obtenu en 2 heures avec Maple la plus petite solution (celle que tu as donnée):
7^2*205992113194129, 2*71040881^2, 3^2*1121512616279147, 2^2*2523403386628081, 5^2*403744541860493.

Même chose pour le plus petit quadruplet avec deux cas: a, 2p², b, 4q ou bien 2p², a, 4q, b.

Effectivement, c'est beaucoup plus simple avec cette observation!