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Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal

Posté par
jamo Moderateur
09-10-11 à 12:06

Bonjour tout le monde,

vous connaissez sans doute les nombres triangulaires, pentagonaux et hexagonaux. On les obtient à partir des figures ci-dessous.

Nombres triangulaires : T1=1 ; T2=3 ; T3=6 ; T4=10 ; T5=15 ; ...

Nombres pentagonaux : P1=1 ; P2=5 ; P3=12 ; P4=22 ; P5=35 ; ...

Nombres hexagonaux : H1=1 ; H2=6 ; H3=15 ; H4=28 ; H5=45 ; ...

Question : à part le nombre 1, trouver un nombre qui soit à la fois triangulaire, pentagonal et hexagonal.

Pour la réponse, je veux le nombre ainsi que son indice dans chacune des trois familles de nombres.

S'il en existe plusieurs, un seul suffira, et s'il n'en existe pas, alors vous répondrez "problème impossible".

Pour information, il existe des formules pour générer ces nombres, et attention de ne pas vous tromper, je sais par exemple qu'il existe aussi des nombres hexagonaux centrés qui ne sont pas les mêmes dont il est question ici.

Bonne recherche !

Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal

Posté par
totti1000
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 09-10-11 à 13:41

gagnéSalut jamo,

Je propose le nombre 40755.

En effet :

T285=40755
P165=40755
H143=40755

Merci.

Posté par
caylus
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 09-10-11 à 13:51

gagnéBonjour Jamo,

40755=H143=P165=T285
Merci pour l'énigmo.

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 09-10-11 à 14:54

gagnéJe trouve 40755 qui est T(285), P(165) et H(143).

Posté par
dpi
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 09-10-11 à 16:01

gagnéBonjour,

Je popose 40755
triangulaire de rang 285
pentagonal  de rang  165
et hexagonal de rang 143

Posté par
castoriginal
Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 09-10-11 à 16:19

perduBonsoir à tous,

j'ai personnellement trouvé

40755

les indices sont:

n3 pour les triangulaires = 285
n5 pour les pentagonaux = 167
n6 pour les hexagonaux = 145

Bien à vous

Posté par
castoriginal
Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 09-10-11 à 16:36

perduIl y a une erreur de lecture des index


les valeurs sont n3= 283
n5 = 165   et n6=143

Bien à vous

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 09-10-11 à 16:53

gagnéBonjour Jamo.
40755 = T(285) = P(165) = H(143)

Posté par
geo3
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 09-10-11 à 17:00

gagnéBonjour
Je propose
40755
=H143
=P165
=T285
A+

Posté par
dpi
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 09-10-11 à 17:13

gagnéRe bonjour,

Comme ces nombres sont extrèmement rares

Je donne hors classement 1 533 776 805
55 385 ° TRI
31 927 ° PENTA
27 693 ° HEXA

Posté par
torio
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 09-10-11 à 17:49

gagnéH(143) = P(165) = T(285) = 40'755


A+
Torio

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 09-10-11 à 18:40

gagnéBonjour Jamo,

Eh bien, on peut dire qu'il n'y en a pas des masses ! En dehors de 1, j'en ai trouvé trois en dessous de P10 000 000 0,15.1015 ; je te donne le troisième :

57\ 722\ 156\ 241\ 751\quad  =  \quad T_{10\ 744\ 501}\quad,\quad P_{6\ 203\ 341}\quad,\quad H_{5\ 372\ 251}

(les choses se simplifient dès qu'on a vu que tout triangulaire de rang a impair est hexagonal de rang (a+1)/2, et réciproquement).

Posté par
evariste
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 09-10-11 à 19:56

gagné40755 est le :
285ème nombre triangulaire
165ème nombres pentagonal
143ème nombres hexagonal

Posté par
LeDino
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 09-10-11 à 20:25

gagnéSauf erreur :

T285 = P165 = H143 = 40 755

Merci pour l'énigme .

Explication :
Tn - Tn-1 = n
Pn - Pn-1 = 3n - 2
Hn - Hn-1 = 4n - 3

Sur tableur, on construit les trois séries de proche en proche...
On peut ensuite trouver le nombre commun par des fonctions de recherche, ou par des tris...

Posté par
jolenul
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 10-10-11 à 11:53

perduBonjour Jamo.

Je trouve le nombre 40755
avec 285 pour les triangulaires
493 pour les pentagonaux
et 569 pour les hexagonaux
Merci pour l'énigme

Posté par
ksad
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 10-10-11 à 13:52

gagnéBonjour
De façon générale, on a toujours que H_N = T_{2N-1}. Mais trouver des nombres pentagonaux associés est moins simple.

Il semble que la plus petite combinaison soit:
T_{285} = P_{165} = H_{143} = 40755

J'avoue avoir été fainéant, et ne pas avoir cherché plus loin!
Merci pour l'Enigmo !

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 10-10-11 à 17:13

perduSalut jamo,

je réponds "Problème impossible", sans vraiment de preuve.
Merci pour l'énigme !

Posté par
Tof
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 10-10-11 à 17:18

gagnéBonjour à tous,

Voici une réponse, je ne suis même pas certain que ce soit le plus petit :
40755

qui est le 285ème nombre triangulaire, le 165ème nombre pentagonal et le 143ème nombre hexagonal.

Merci pour cette jolie énigme,

Tof

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 10-10-11 à 17:58

gagnéBonjour,
J'ai trouvé 40755 qui me semble être:
Triangulaire au rang 285
Pentagonal au rang 165
Hexagonal au rang 143

Encore une fois, c'est une moulinette basic qui m'a aidée.

Posté par
Louisa59
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 10-10-11 à 20:53

gagnéBonjour

Alors je tente, j'ai fait mumuse avec mon tableur :

Je sais tout d'abord que tout nombre hexagonal est triangulaire dans un 1er temps.

Pour les nombres pentagonaux j'ai pris la formule : (3n² - n) /2

Pour les nombres hexagonaux : 2n² - n

J'ai rentré le nécessaire dans mon tableur, j'en trouve 1 (mais je n'ai pas cherché plus loin)

\blue \large40\ 755

\blue \large T_2_8_5\ =\ 40\ 755

\blue \large P_1_6_5\ =\ 40\ 755

\blue \large H_1_4_3\ =\ 40\ 755

J'ai recherché les nombres hexagonaux centrés avec la formule : 3n² + n + 1 et je n'ai pas trouvé 40 755 parmi les nombres trouvés.

Ce qui fait, que j'en ai au moins un : 40 755

Des preuves :

\red \large Nombres\ triangulaires\ (dernière\ colonne\ de\ mon\ tableur) :

Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal

\red \large Nombres\ pentagonaux\ (deuxième\ colonne)
\red \large Nombres\ hexagonaux\ (troisième\ colonne)

Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal

\red \large Nombres\ hexagonaux\ centres\ (derniere\ colonne)

Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal

Voilà, je me suis peut-être trompée, mais au moins j'ai essayé cette énigme qui me branchait

Ça me travaillait depuis hier soir.

Merci Jamo

Posté par
gloubi
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 11-10-11 à 12:17

gagnéBonjour,

Par exemple: 40755

C'est le 285ème nombre triangulaire, le 165ème nombre pentagonal et le 143ème nombre hexagonal.

Merci pour l'énigme !  

Posté par
canonique
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 12-10-11 à 00:00

perduPour les nombres hexagonales, triangulaires et pentagonales,
x*.

Donc 1 est le seul nombre à la fois hexagonal, pentagonal et triangulaire.

Donc problème impossible.

Posté par
manpower
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 12-10-11 à 10:11

gagnéBonjour,

avec les formules n(n+1)/2 , n(3n-1)/2 et n(2n-1) on peut assez facilement trouver (sans se soucier des triangulaires et en limitant la recherche par une réflexion sur la parité), le suivant de ces nombres.
Il s'agit de 40755 qui vérifie T285=P165=H143.

En revanche, après une recherche sur l'oeis on peut s'apercevoir que les suivants sont bien plus éloignés !
(1533776805, 57722156241751, 2172315626468283465, 81752926228785223683195, 3076689623521787481625080301, 115788137209866023854693048367775)

Merci pour l'enigmo.

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 12-10-11 à 12:42

perduRe-salut,

bon, ma réponse était fausse...
Mais pour la beauté du geste, je rectifie quand même:

40775 est le 143 ème nombre hexagonal, comme 40775=143*285,
, et c'est donc le 285è nombre triangulaire,

et c'est aussi le 165  ème nombre pentagonal, comme 40775=1/2*165*(3*165-1)

Merci pour l'énigme !

Posté par
franz
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 12-10-11 à 14:25

perdu\Large \red40755   convient

Posté par
buck92
Enigmo 253 12-10-11 à 19:26

gagnéBonjour,
40755 = T285 = P165 = H143.

Il est évidemment possible (et même très facile avec Excel) de générer les 3 listes et de les croiser.
Il doit néanmoins être possible de trouver une solution de façon logique. Bien que je n'y sois pas parvenu, voici une approche.

Soient Tn, Pn et Hn  les nombres triangulaires, pentagonaux et hexagonaux de rang n.
Tn = n*(n+1)/2
Pn = n*(3n-1)/2
Hn = n*(2n-1)
Mais ce qui nous intéresse davantage sont les propriétés suivantes (qu'on vérifiera aisément avec les formules ci-dessus.
1)  Hn = T2n-1; autrement dit les nombres hexagonaux sont les nombres triangulaires de rang impair.
On voit donc que l'énoncé qui semblait imposer 3 contraintes indépendantes revient à chercher un nombre qui soit à la fois pentagonal et triangulaire de rang impair.

2) Pn = T3n-1/3. (En regardant la formule de Tn, ilsaute aux yeux que les triangulaires de rang 3n et 3n-1 sont bien divisibles par 3).
Le problème revient donc à chercher un nombre triangulaire de rang de la forme 3n-1 dont le quotient par 3 soit lui-même un nombre triangulaire de rang impair.

Ainsi, il devient possible de résoudre le problème en se contentant de manipuler la liste des nombres triangulaires.
Il ne reste plus qu'à générer la liste, en examiner un élément sur 3 et voir si son quotient par 3 figure dans la liste.
Voici un petit programme Python qui fait cela (et qui ne se veut pas un exemple de programmation !)

#! /usr/bin/env python
# -*- coding:Utf8 -*-

def tester(nb):
   "cherche si nb est un nombre triangulaire de rang impair"
   ind = 1
   while triang[ind] < nb:
       ind = ind + 2
   if triang[ind] == nb:
       print('Nombre :', triang[ind], 'indice du triangulaire :', ind)
   return
#
#Initialisation
n, element, triang = 1,0,[0]
while n < 601:      #initialisation de la liste des 600 premiers nombres triangulaires
   element = element + n
   triang.append(element)
   n = n + 1
# fin de l'initialisation
#
#on balaye les elements de la liste dont le rang est de la forme 3n-1.
n=5
while n < 600:
   pent = triang[n]//3  # P(n)= 1/3 T(3n-1)
   tester(pent)
   n=n+3
print ('termine')

A l'exécution, on obtient immédiatement ceci :
Nombre : 40755 indice du triangulaire : 285

Merci pour l'énigme !

Posté par
Pantagruel
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 13-10-11 à 00:50

perduBonjour tout le monde
Je propose: Problème impossible
Formule des nombres
-Triangulaires:  (n²+n)/2    Eq.1
-Pentagonaux:   (3n²-n)/2   Eq.2
-Hexagonaux:    (4n²-2n)/2  Eq.3
Les égalités Eq.1= Eq.2 =Eq.3 donne pour seule valeur 1

Posté par
mjmc
Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 13-10-11 à 15:23

gagnébonjour,

voici ma reponse : 40755
indice dans la suite des nombres triangulaires : 285

indice dans la suite des nombres pentagonaux : 165

indice dans la suite des nombres hexagonaux : 143

Posté par
vivelile
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 13-10-11 à 16:17

gagnéBonjour

Je propose le nombre 40755 qui est à la fois triangulaire (T285), pentagonal (P165) et hexagonal (H143)

Merci pour l'énigme.

Posté par
Rumbafan
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 13-10-11 à 23:57

gagnéBonjour Jamo

Je propose 40755

Merci pour cette énigme ***

A+

Posté par
Rumbafan
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 13-10-11 à 23:58

gagnéBonjour JAMO,

J'avais oublié les indices

285   165 et 143

Sorry

Posté par
athsisi
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 14-10-11 à 22:26

perdule 6

Posté par
pharaon
nombre tri-penta-hexagonale 16-10-11 à 13:55

perdubonjour a tous
pour moi c'est un "probleme impossible"

Posté par
pdiophante
Enigmo 253 17-10-11 à 16:12

gagnéTout nombre triangulaire est de la forme t(t+1)/2 avec t entier > 0
Tout nombre pentagonal est de la forme p(3p - 1)/2 avec p entier >0
Tout nombre hexagonal est de la forme h(2h - 1) avec h entier >0.
On note que tout nombre hexagonal est nécessairement un nombre triangulaire.En effet, en posant h = (t+1)/2 avec t nombre entier impair, on obtient h(2h - 1) = t(t+1)/2
Dès lors pour résoudre le problème il suffit de trouver des entiers N qui sont en même temps pentagonaux et hexagonaux.
D'où l'équation diophantienne p(3p - 1) = 2h(2h - 1) qui s'écrit encore 4h² - 3p² - 2h + p = 0

Le site de Dario Alpern http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM donne instantanément les solutions de cette équation qui sont définies par deux formules  linéaires de récurrence dans laquelle h(i) et p(i)désignent la i-ème famille des nombres h et p tels que les nombres hexagonaux et pentagonaux correspondants  sont égaux entre eux.

h(0) = 1
p(0) = 1

h(n+1) = A h(n) + B p(n) + K
p(n+1) = C h(n) + D p(n) + L
avec
A = 97 B = 84 K = -38
C = 112 D = 97 L = -44


A partir de la  solution triviale h(0) = p(0) = 1, on déduit le deuxième couple h(1) = 143 et p(1) = 165 auquel correspond t(1) = 285.
Le nombre N qui est à la fois triangulaire, pentagonal et hexagonal vaut donc:
N = 285*286/2 = 165*494/2 = 143*285 = 40755

On peut poursuivre les calculs et on obtient:
h(2) = 27693 p(2) = 31977 t(2) = 55385 N = 1 533 776 805
h(3) = 5372251 p(3) = 6203341 t(3)= 10744501 N = 57 722 156 241 751
etc...

Si on ignore le site de Darion Alpern, on peut traiter l'équation du 2ème degré en h :  4h² - 2h - 3p² + p = 0 dont le discriminant est nécessairement un carré parfait.
On a alors 1 + 4(3p² - p) = q² ou encore l'équation diophantienne q² = 12p² - 4p - 1.Un tableur donne immédiatement la première solution non triviale avec p et q entiers l'un et l'autre : p = 165 et q = 571. L'obtention des autres solutions est évidemment un peu plus laborieuse.

Posté par
DARK_DUCK
réponse 20-10-11 à 23:53

gagnéIl semble qu'il existe plusieurs nombres vérifiant cette condition on  a par exemple :

40 755

285 est son rang parmi les nombre triangulaires
165 est son rang parmi les nombre pentagonaux
143 est son rang parmi les nombre hexagonaux


1 533 776 805

55 385 est son rang parmi les nombre triangulaires
31 977 est son rang parmi les nombre pentagonaux
27 693 est son rang parmi les nombre hexagonaux

on prends 1 est le terme de rang 1(précision pour éviter les confusions)

Mathématiquement,

DARK_DUCK

Posté par
ley
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 21-10-11 à 21:14

perduproblème impossible

Posté par
TFM8
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 22-10-11 à 15:34

gagnéBonjour jamo,

le nombre cherché est 40775 :

T285=40775
P165=40775
H143=40775

Posté par
lo5707
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 23-10-11 à 20:33

perduBonjour,

je trouve :

40755

merci pour l'énigme

Posté par
LO_RV
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 26-10-11 à 18:06

perduProblème impossible.

Ceux qui posent problème sont les nombres pentagonaux, qui n'ont rien à voir avec les deux autres.
Un nombre triangulaire d'ordre 2k-1 est un nombre hexagonal d'ordre k.

Posté par
lepongiste
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 27-10-11 à 00:22

gagnéBonjour,

Je propose 40755 qui est le 285ème nombre triangulaire, le 165ème nombre pentagonal et le 143ème nombre hexagonal.

Posté par
kioups
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 27-10-11 à 16:34

gagnéT_{285}=P_{165}=H_{143}=40 755

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 28-10-11 à 08:19

Clôture de l'énigme

Le premier nombre était : T285=P165=H143=40755

Le suivant : T55385=P31977=H27693=1533776805

Posté par
dpi
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 28-10-11 à 11:24

gagnéBelle énigme

Comme j'ai 2

J'en donnerais volontiers un à castoriginal car il
n'a que fourché de peu pour les rangs.

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 28-10-11 à 11:42

gagnéUn grand à Louisa!

Posté par
Louisa59
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 28-10-11 à 15:30

gagnéBonjour à tous

Ouah cool !!! Merci Laurent

Et merci jamo

Posté par
lo5707
re : Enigmo 253 : Nombre tri-penta-hexagonal 30-10-11 à 21:01

perdupfff, j'avais zappé la consigne "ainsi que son indice dans chacune des trois familles de nombres"
comme plusieurs ...

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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