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Enigmo 257 : Le demi-tour du monde

Posté par
jamo Moderateur
05-12-11 à 10:32

Bonjour tout le monde,

j'ai décidé de faire un demi-tour du monde à bord de mon avion. Mais pour compliquer un peu la chose, voilà ce que j'ai fait, équipé d'une bonne boussole.
(on considère que la terre est une sphère de rayon 6400 km)

Je suis parti d'un point A situé sur l'équateur.
J'ai parcouru une distance d vers le nord (et je n'ai pas atteint ni dépassé le pôle nord).
Ensuite, quart de tour vers la droite, j'ai parcouru la même distance d vers l'est.
Un nouveau quart de tour vers la droite, et j'ai à nouveau effectué d km vers le sud, afin de me retrouver à nouveau sur la ligne équatoriale.
Et pour finir, un dernier quart de tour vers la droite, et j'ai encore parcouru d km vers l'ouest, pour finir mon trajet au point B.

Question : donner cette longueur d afin que les points A et B soient diamétralement opposés (réponse en km, arrondie au km le plus proche si nécessaire ; une réponse avec une autre précision sera refusée).

Bonne recherche !

Enigmo 257 : Le demi-tour du monde

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 05-12-11 à 10:51

gagnéJe trouve 8176 km arrondi au km le plus proche..

Posté par
ksad
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 05-12-11 à 10:57

gagnébonjour
je me lance: je tente 8176 km
merci pour l'énigme !

Posté par
castoriginal
Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 05-12-11 à 12:34

gagnéBonjour à tous,

considérons la figure représentant en rouge le trajet demandé

Enigmo 257 : Le demi-tour du monde

La longueur d vaut 8176 km donc le trajet total pour atteindre le point B vaut 32704 km

Le calcul du trajet vers le nord de A à C vaut d= R*
Le calcul du trajet vers l'est de C à D vaut d=r*1 avec r=R*cos*1
le calcul du trajet vers le sud de D à E vaut d=R*
et le calcul vers l'ouest de E à B vaut d=R*2 avec 2=1-

On a l'égalité d = R*=R*cos()*1=R*2
En faisant varier la latitude on trouve d pour =73,1965° N

Posté par
kioups
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 05-12-11 à 13:43

gagnéSauf erreurs, je trouve une distance d'environ 8176 km.

Posté par
geo3
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 05-12-11 à 13:59

gagnéBonjour
Je pense bien que d = 8176km
R = 6400km : r = le rayon du petit cercle dans le plan parallèle
si µ est l'angle au centre ( de la terre) interceptant d on a  r = R*cos(µ) ; d = R*µ = r*(µ+pi)= R*(µ+pi)*cos(µ) =>
µ = (µ+pi)*cos(µ)  =>
µ = 1.277520441... =>
d = 8176.1308km
= 8176km
A+

Posté par
dpi
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 05-12-11 à 14:10

perduBonjour

En se méfiant de la précision...
d= 6975

Posté par
Chatof
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 05-12-11 à 15:00

gagné8176 Km

d= 8176 km

merci

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 05-12-11 à 15:50

gagnéBonjour

je dirais : d=8176 km arrondi au km près

mm

Posté par
caylus
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 05-12-11 à 18:58

gagnéBonjour Jamo,
8176 (km) par défaut.
Merci pour l'énigme.

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 05-12-11 à 20:42

perduBonjour.
8615 km.
Soit a l'arc parcouru sur un méridien ou l'équateur.
Il faut que (1/cos(a) -a)/pi se rapproche le plus d'un entier impair.
a est entre 1,34607 et 1,34608.

Posté par
LemonKing
Reponse 05-12-11 à 21:26

perduJe trouve la réponse 18973 km

Posté par
gauss59
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 05-12-11 à 21:36

gagnéJe dirais que d=8176 km.

Posté par
ming
promenade 05-12-11 à 21:40

gagnéBonjour

Ma calculatrice me donne d = 8 176 km

Posté par
manpower
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 05-12-11 à 22:44

gagnéBonsoir,

pfff pas très envie de me lancer dans ces calculs ce soir...

Une mauvaise réponse devrait être 6702 km si on confond gauche et droite pour le dernier quart de tour (avec un angle initial de 60°).
Il faut donc viser un couple d'angles de différence égale à 180°... je propose donc 8176 km (à la va-vite, donc poisson prévisible !)
(chose surprenante, quitte à faire encore plus de tours sur le cercle de la "section", il devrait exister d'autres solutions. Par exemple, avec un angle d'environ 82,39282..., je trouve une solution d=9203 km ).

Bref, en voulant m'éviter trop de calculs et en cumulant les bidouilles sur les grands cercles et angles, je sens fort le ...

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 05-12-11 à 23:58

gagnéBonjour Jamo,

Je trouve qu'il faut monter assez loin au nord pour réaliser ta petite gymnastique :   d = 8176 km

Merci à toi.

Posté par
fifoudeuc
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 06-12-11 à 01:12

perdud=0  me parait inattaquable ...

Posté par
fifoudeuc
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 06-12-11 à 01:15

perduOups j'ai oublié une ligne de l'énoncé .. Dommage !

Posté par
totti1000
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 06-12-11 à 02:43

gagnéSalut jamo,

Je propose 8176 km.

Merci.

Posté par
fifoudeuc
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 06-12-11 à 03:01

perduBon elle ne comptera pas mais je l'ai fais pour ma fierté personnelle !
Afin que vous ne preniez pas trop pour un abruti ( encore faut-t-il quelle soit juste .. )

   d =  9593 km

Belle énigme en tout cas !
Merci

Posté par
torio
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 06-12-11 à 07:58

perdu7579 KM
A+
Torio

Posté par
pdiophante
Enigme n°257 07-12-11 à 00:42

gagnéBonjour,

Réponse: d = 8176 kms

On désigne par ACDEB le parcours effectué avec arc AC = d vers le Nord, arc CD = d vers l'Est, arc DE = d vers le Sud et arc EB = d vers l'Ouest.
Soit O le centre de la Terre et O' le centre du cercle passant par C et D et dont le plan est parallèle au plan de l'équateur. On désigne par a l'angle AOC exprimé en radian et R = 6400kms  le rayon de la Terre.
On a les relations suivantes:
d = R*a
O'C = R*cos(a)
Comme arc EB = d = R*a, on angle BOE = d/R = a, d'où arc CD = d = O'C*(pi + a)= R*cos(a)*(pi + a).
D'où l'équation donnant l'angle a : R*a = R*cos(a)*(pi + a), soit cos(a) = a/(pi + a)
qui a pour solution a = 1,27752... radian
On en déduit d = 6400 * 1,27752..= 8176 kms arrondis au km le plus proche

PS Si l'on voulait répondre de manière rigoureuse, il conviendrait de connaître l'altitude à laquelle vole l'avion car les vraies trajectoires ne sont pas des arcs de cercle...

Posté par
LeDino
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 07-12-11 à 02:04

gagnéBonsoir,

Je propose d = 8176 Km.

Explication :

d = R*

avec solution de :
cos() = /(+)

Merci pour le voyage ...

Posté par
franz
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 07-12-11 à 08:50

gagnéEn supposant qu'il ne fasse pas une révolution complète à son point de latitude maximale, je trouve
d=8176 km.

Sinon, il existe une infinité de solutions, les premières étant 8176, 9203, 9500, 9642...

Posté par
Youpette
demi tour du monde 07-12-11 à 12:41

gagnéBonjour,

ma réponse est d = 8176 kms
merci pour l'enigme.

Posté par
gloubi
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 07-12-11 à 15:20

gagnéBonjour,

Ma réponse: 8176 km.

Merci pour l'énigme.  

Posté par
Maths1405
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 07-12-11 à 15:23

perdubonjour, ce ne serait pas 20 106km?

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 07-12-11 à 16:50

gagnéTout d'abord, ma réponse: 8176 km
En fait, c'est la plus faible possible.
Il y en a beaucoup d'autres:
9203, 9500, 9642.... selon le nombre de tours qu'on fait autour de l'axe de la terre pendant le déplacement vers l'est.
Merci pour l'enigmo!

Posté par
Pantagruel
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 08-12-11 à 14:39

perduBonjour tout le monde
- Je propose: 5024 Kms.

Posté par
dpi
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 09-12-11 à 11:08

perduFidèle à mon habitude

Il y a 1/4 de tour sur place et 1/4 tour
du cercle (parallèle dans ce cas).

J'ai donc fourché et en relisant:
Je dirai cette fois d= 8176 km

Poisson mérité .

Posté par
evariste
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 09-12-11 à 18:03

gagnéd=8176 km

Posté par
LemonKing
Reponse cohérente cette fois... (pour la beauté du geste) 09-12-11 à 20:50

perdu8176km

Posté par
nutsy
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 10-12-11 à 03:13

perduSoit R le rayon de la Terre.

Soit \theta la lattitude atteinte après le voyage vers le nord.
d=R\theta

Cet angle correspond aussi au voyage vers l'ouest.

Soit R' le rayon de la Terre au niveau de la lattitude \theta.
R' = R\cdot cos(\theta)

Soit {\theta}' l'angle correspondant au voyage vers l'est après le quart de tour.
d=R'{\theta}'

Comme on veut que A et B soient diamétralement opposés, on a :
\frac{\pi}{2} + {\theta}' - \theta = \pi

Donc {\theta}' - \theta = \frac{\pi}{2}

Or d=R\theta = R'{\theta}'

Donc R \theta =R\cdot cos(\theta) \cdot (\theta + \frac{\pi}{2})
\theta = cos(\theta) \cdot (\theta + \frac{\pi}{2})

On associe cette équation à la fonction f(\theta) = \theta - cos(\theta) \cdot (\theta + \frac{\pi}{2}) avec \theta \in [0;\frac{\pi}{2}[ puisqu'on n'atteint ni ne dépasse le pôle nord.

f'(\theta) = 1 + sin(\theta) \cdot (\theta + \frac{\pi}{2}) - cos(\theta)

\forall \theta \in \mathbb{R} \quad 1 - cos(\theta) > 0

\forall \theta \in [0;\frac{\pi}{2}[ \quad sin(\theta) \cdot (\theta + \frac{\pi}{2}) > 0

Donc \forall \theta \in [0;\frac{\pi}{2}[ f'(\theta) > 0

La fonction est donc strictement croissante sur [0;\frac{\pi}{2}[.

f(0) = 0 - cos(0) \cdot (0 + \frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2} < 0
f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - cos(\frac{\pi}{2}) \cdot (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} > 0

Donc, sur [0;\frac{\pi}{2}[, il existe une unique racine, c'est-à-dire qu'il n'y a qu'une solution au problème.

Par affinement des encadrements, on arrive à 1,13737 < \theta < 1,13738

Ceci amène à 7279,168 < d = R \theta < 7279,232

Conclusion : d \approx 7279 km

Posté par
LO_RV
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 10-12-11 à 11:39

gagnéJe dirais 8176 km environ. Soit à peut près 73° de latitude nord.

Bonne journée.

Posté par
edlecoch
Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 11-12-11 à 17:03

gagnéBonjour les matheuses, bonjour les matheux.

d  =  8.176 km

A titre accessoire :
Tout au long de sa 2ème étape, l'avion était à la latitude de 73,19652955°,
soit :  73 degrés  11 minutes  47 secondes  5/10

C'était un bien joli problème de trigono, ... MERCI.

Posté par
masab
Le demi-tour du monde 12-12-11 à 17:12

gagnéBonjour,

On est amené à résoudre l'équation
d/(R*cos(d/R)) = d/R + Pi
On trouve
d = 8176 km

Cordialement,
masab

Posté par
HE4DS
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 12-12-11 à 19:44

perduTa boussole n'indique pas le Nord géologique, mais le nord magnétique ... Voilà une solution au problème.
Désolé de cette réponse médiocre, mais... je suis fatigué !

Posté par
LittleFox
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 21-12-11 à 03:06

gagnéLa distance demandée est la solution à l'équation d(\frac{1}{cos\frac{d}{R}}-1)=\pi R.
Où R vaut 6400.
La distance vaut environ 8176km

Posté par
PrFrink
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 21-12-11 à 13:48

perdud = 12800/2pi soit arrondi au kilometre près :

d = 2037 km

Posté par
jonwam
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 27-12-11 à 00:34

perdu
4599 km

Posté par
thiblepri
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 27-12-11 à 22:30

gagnéBonjour jamo,

Je dirais:

x=8176 km arrondi au km.

Merci pour cette énigme

Posté par
gerterd
gerterd 27-12-11 à 23:39

perdule distance demandée     8.144.706 km

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 28-12-11 à 09:52

Clôture de l'énigme

Après résolution numérique d'une petite équation, on trouve : 8176 km

Posté par
jonwam
re : Enigmo 257 : Le demi-tour du monde 28-12-11 à 13:19

perduoh m**** j'ai multiplié par 3600 au lieu de 6400 (voila pourquoi il doit être proscrit de résoudre des énigmes minuit passé^^)

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 101:45:29.
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