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Enigmo 258 : Pentagone inscrit

Posté par
jamo Moderateur
19-12-11 à 10:40

Bonjour tout le monde,

dans un réseau à mailles carrées, on s'intéresse aux pentagones dont les 5 sommets (distincts) sont situés sur les points du réseau.

L'objectif est de trouver le pentagone dont le cercle circonscrit a le plus petit rayon possible. Le centre de ce cercle n'est pas obligatoirement sur un point du réseau.

Par exemple, j'ai tracé ci-dessous un pentagone, dont les 5 sommets sont sur des noeuds du quadrillage, inscriptible dans un cercle de rayon \frac{25\sqrt{26}}{14} soit environ 9,105 (l'unité de mesure correspond au côté des carrés).

Question : trouver le rayon du plus petit cercle circonscrit à un pentagone dont les sommets sont des points du quadrillage, ainsi que les coordonnées de ces points.

Pour la réponse, je veux la valeur exacte du rayon, ainsi que les coordonnées des 5 points (peu importe l'origine du repère). Un petit programme sur un tableur me permettra facilement de vérifier la validité de la réponse.

J'ai mis 4 étoiles pour la difficulté de l'énigme, car :
- je pense que la recherche des pentagones n'est pas évidente ;
- le calcul de la valeur exacte du rayon demande une certaine maitrise ;
- trouver le plus petit pentagone n'est sans doute pas évident non plus.

Bonne recherche !

Enigmo 258 : Pentagone inscrit

Posté par
kioups
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 19-12-11 à 11:07

perduJe trouve un cercle de rayon \sqrt{5} \over 2 et des points de coordonnées (0;0) , (1;0) , (2;1), (0;3), (1;3).

Posté par
totti1000
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 19-12-11 à 11:15

gagnéSalut jamo,

Je propose un rayon de \Large  \frac{\sqrt{10}}{2}.

Et les cinq points : (0;0), (1;1), (1;2), (-2;1) et (-1;3).

Merci.

Posté par
kioups
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 19-12-11 à 12:13

perduMe suis planté, c'est plutôt \sqrt{10} \over 2 ce que j'ai trouvé ! Mais doit y avoir mieux...

Posté par
ksad
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 19-12-11 à 12:13

gagnéBonjour !
Voici la solution que je propose:
A=(0;0)
B=(1;0)
C=(2;1)
D=(2;2)
E=(1;3)
sont les sommets d'un pentagone inscriptible dans un cercle de centre O=(1/2;3/2), et de rayon \frac{\sqrt{10}}{2} \approx 1.581139\dots.
Je ne pense pas qu'il existe un rayon plus petit...
Merci pour cette belle énigme !

Posté par
torio
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 19-12-11 à 12:28

perducercle de rayon 1,5 unité

Enigmo 258 : Pentagone inscrit

Posté par
torio
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 19-12-11 à 12:31

perdu

rayon = racine(5/2) = environ 1.58113883008

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 19-12-11 à 12:51

gagnéJe trouve, sauf erreur bien sûr, un pentagone dont les sommets sont A(1,1), B(1,2), C(2,3),D(3,3) et E (4,2), avec un rayon du cercle circonscrit de (10)/2

Posté par
sephdar
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 19-12-11 à 13:39

gagnébonjour,

sans certitude... je propose

les 5 sommets du pentagone : (2;0)  (1;1)  (1;2)  (3;3)  (4;2)
le rayon du cercle 2,25

Posté par
masab
Enigmo 258 : Pentagone inscrit 19-12-11 à 14:54

perduBonjour,

Le rayon du plus petit cercle est 5/2.
On peut prendre le pentagone de sommets
(0,0),\ (0,1),\ (1,2),\ (2,2),\ (3,0)

Cordialement,
masab

Posté par
LemonKing
Réponse 19-12-11 à 15:28

gagnéJe propose :

A(19,8)
B(20,9)
C(21,9)
D(22,8)
E(19,7)

(^^)

ce qui ferait un rayon minimal de (10)/2
ce qui me semble un peu trop simple par rapport à la couleur annoncée...

Posté par
pdiophante
Enigme n°258 19-12-11 à 17:04

perduBonjour

Rayon du plus petit cercle circonscrit = racine(5/2)=1,581138..

Les huit points qui sont les sommets des quatre branches d'une croix grecque sont sur un même cercle dont le centre est celui de la croix.La plus petite croix grecque est constituée par cinq carrés de dimension unité et on vérifie aisément que le rayon du cercle circonscrit à cette croix est égal à racine(9/4 + 1/4) = racine(5/2).
Dès lors on peut choisir les sommets du pentagone en considérant les cinq points suivants de coordonnées entières (0,0),(0,1),(1,2),(2,2) et (1,4).Le centre du cercle circonscrit à ces cinq points a pour coordonnées 1.5 et 0.5.
Il y a C(8,5) pentagones de la même famille.

Nota important: le problème serait plus complexe si l'on exigeait que le cercle passant par les cinq points ne passe pas par d'autres points de coordonnées entières. L'énoncé est muet sur ce point. Si c'était le cas, on serait amené à utiliser le théorème de Schinzel.

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 19-12-11 à 18:49

perduBonjour Jamo.
Avec la méthode des triplets de Pythagore, je trouve que le rayon du plus petit cercle mesure 5.
Le centre du cercle est l'origine du repère.
Les sommets du pentagone sont en (0;5), (0-5), (5,0), (5;0) et (3;4).

Posté par
castoriginal
Enigmo 258 : Pentagone inscrit 19-12-11 à 20:31

perduBonsoir,

voici ma solution en image

Enigmo 258 : Pentagone inscrit

Bien à vous

Posté par
geo3
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 19-12-11 à 23:15

perduBonsoir
En espérant que c'est le plus petit :
rayon = 5
A =(1 ;1) , B =(1 ;3) , C =(2 ;4) , D =(4,0), E = (2 ;0)
A+

Posté par
castoriginal
Enigmo 258 : Pentagone inscrit 20-12-11 à 00:50

perduBonne nuit,

j'ai une deuxième solution dont j'ignore la validité
il s'agit d'un pentagone croisé dont voici la représentation.
Il correspond à une seule maille du réseau

Enigmo 258 : Pentagone inscrit

A bientôt

Posté par
dpi
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 20-12-11 à 08:18

gagnéBonjour et Bonnes Fêtes

Je trouve une jolie maison hors concours
mais je valide la plus petite R =\sqrt{2.5}=1.581
Coordonées en partant de 1 (0.0)
2(0,1) 3(2,2)  4(3,0) 5 (-1,-1)
Centre (+1.5,+0.5)


Enigmo 258 : Pentagone inscrit

Posté par
geo3
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 20-12-11 à 08:55

perduRebonjour
Voilà en image
BC = V2 ; OC = OA = V5 ; OM = V(5-1/2) = 3/V2
aire = 2*OBC + 2*OED = 2*V2*3/V2/2 + 2*2*2/2 = 3+4=7cm²
A+

Enigmo 258 : Pentagone inscrit

Posté par
castoriginal
Enigmo 258 : Pentagone inscrit 20-12-11 à 12:34

perduBonjour,

j'ai affiné ma deuxième solution.
Il y avait une invraisemblance da

Posté par
castoriginal
Enigmo 258 : Pentagone inscrit 20-12-11 à 12:37

perduerreur de manipulation >>>suite

il y avait une invraisemblance dans l'ordre des points.
Ci-dessous la solution rectifiée et complétée par le pentagone croisé dépliéEnigmo 258 : Pentagone inscrit

Bien à vous

Posté par
LittleFox
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 21-12-11 à 02:44

gagnéLe pentagone de sommets [(0,0);(1,0);(2,1);(2,2);(1,3)]
a pour cercle circonscrit le cercle de centre (\frac{1}{2},\frac{3}{2}) et de rayon \frac{\sqrt{10}}{2} soit environ 1,581.

Posté par
gloubi
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 21-12-11 à 13:10

gagnéBonjour,

Pour le rayon, pas mieux que \rm\frac{\sqrt 10}{2}

Les coordonnées des points sont sur la figure.

Enigmo 258 : Pentagone inscrit

Citation :
- trouver le plus petit pentagone n'est sans doute pas évident non plus.

J'ai trouvé en moins d'une minute ... Sûr que j'ai loupé un truc !  

Posté par
baptou_ba
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 22-12-11 à 09:38

perduIl doit y avoir du nombre d'or là-dedant

Posté par
carpediem
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 27-12-11 à 17:41

perdusalut

bon allez je me lance .....


deux points A et B donnés le plus simple pour avoir d'autres points points sur le cercle de diamètre [AB] est le théorème de Pythagore c'est à dire un triangle rectangle ...

d'autre part il faut user de symétrie au maximum .... pour satisfaire aux exgigences de jamo à savoir un pentagone qui intercepte le quadrillage en (au moins) cinq points ....

j'ai donc obtenu très vite ::::

Enigmo 258 : Pentagone inscrit

qui fournit donc une solution .....

mais est-elle minimale au sens de jamo ?

reste donc à tester B dans le trapèze ABCD et sur la quadrillage ...

ce qui conduit très vite à la solution :::

Enigmo 258 : Pentagone inscrit


enfin la solution je l'espère ....
oui j'ai essayé plus petit mais rien trouvé ... (8 noeuds du quadrillage à essayer c'est par la mer à boire ....

coordonnées des points ::

F = (0,0)
G = (4,2)
H = (1,3)
I = (4,0)
J = (1,-1)
K = (3,1)

ces six points appartenant au cercle ils permettent de construire 5 pentagones ....
j'espère qu'on me pardonnera de ne pas donner la liste évidente ... et incomplète puisqu'on peut y adjoindre le quatrième sommet du rectangle construit sur les points F, I et G et idem avec les points K, J et H .... ce qui fait 7 pentagones ....

le "plus petit" pentagone est FGIKJ qui est inscrit dans un demi-cercle

le rayon de ce cercle est 5 ....



voila j'espère avoir répondu à toutes les exigences de jamo et respecté les règles du jeu ... ouais parce que j'ai vu que ça frétille à nouveau sur une autre énigme....



et je vous souhaite à tous une bonne année ...

Posté par
carpediem
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 27-12-11 à 17:43

perduon remarquera que le centre du cercle appartient au quadrillage ....

les droites tracées permettent de voir ....

Posté par
carpediem
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 27-12-11 à 17:44

perduen particulier on reconnaitra le déplacement d'un cheval sur un échiquier ....

Posté par
LO_RV
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 28-12-11 à 23:03

gagnéRayon : racine de 2,5
Coordonnées des sommets : (0;1) (0;2) (1;0) (2,0) (1,3)

Si les pentagones ne semblent pas évidents à trouver, le plus petit cercle est lui beaucoup plus facile à choisir. En effet, à cause des symétries liées au quadrillage, un cercle passe par un multiple de 4 points du quadrillage.
4 ne sont pas suffisants, donc on prend le plus petit cercle passant par 8 points du quadrillage, de diamètre racine de 10. (hypoténuse de 3 carreaux sur 1)

Merci pour cette énigme, qui ne semble pas mériter ses 4 étoiles.

Posté par
LeDino
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 29-12-11 à 16:00

gagnéBonjour,

Voici ma proposition :

Rayon = racine(10)/2 ~ 1,581

Coordonnées des cinq sommets :
( 1 ; 0 )
( 2 ; 0 )
( 0 ; 1 )
( 0 ; 2 )
( 3 ; 2 )


En image :
Enigmo 258 : Pentagone inscrit

Merci pour l"énigme ...

Posté par
flo1162
reponde 31-12-11 à 18:55

gagnéimpossible de mettre une image alors voici le lien:
http://www.hostingpics.net/viewer.php?id=163654pentagone.jpg
Le rayon fait: R=(10/4)
R1.581
Dans le repère (O;X;Y), les sommets du pentagone ont comme coordonnées:
A(4;2)
B(4;3)
C(1;3)
D(1;2)
E(2;1)
et son centre à comme coordonnées:
F(2,5;2,5)

Posté par
carambole
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 01-01-12 à 22:41

gagnéBonsoir Jamo,

un cercle de rayon 5/2 convient.
Coordonnées des points: (0,1); (0,2); (1,0); (2,0); (1,3)

C'est malheureusement une solution triviale qui, si elle se révèle la meilleure, rend le nombre d'étoiles injustifié.

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 03-01-12 à 00:29

gagnéBonjour Jamo, et bonne année

Le plus petit cercle que je trouve répondant à la question a pour rayon :  \small R=\sqrt{\dfrac52}  , et passe en fait par 8 points du quadrillage, parmi lesquels par exemple :  S1=(0;0) , S2=(0;1) , S3=(3;0) , S4=(2;2) , S5=(2;-1)   si ce cercle est centré en  C=(1,5;0,5)

Posté par
jonwam
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 03-01-12 à 21:54

perdurayon : 2.5

points : (0;3) (2;2) (-2;2) (-2;-1) (2;-1)

Posté par
Chatof
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 07-01-12 à 09:22

perduRayon   = \sqrt{2}  
A(1;0;0) B(0;1;0) C(2;0;1) D(0;2;1) E(2;1;2)

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 08-01-12 à 10:18

Clôture de l'énigme

Me voilà déçu par mon énigme, j'avais oublié une condition importante afin qu'elle soit vraiment plus compliquée.
J'avais repris l'idée de cette énigme dans un ouvrage, et la solution du cercle circonscrit le plus petit était vraiment bien plus difficile que ça.
Une fois les premières réponses apparues, j'ai été étonné par leur simplicité et j'ai lu et relu l'énigme initiale, je ne voyais pas ce que j'avais oublié.
Et c'est lorsque j'ai lu la réponse de pdiophante que j'ai compris : j'aurais du ajouter la condition que le cercle ne devait passer que par les 5 points à coordonnées entières, et par aucun autre ... voilà qui aurait été nettement plus difficile !!
(au passage, pdiophante, il y a une erreur dans tes coordonnées, ta réponse ne marche pas ...)
D'ailleurs, je serai intéressé que tu nous en dises un peu plus sur ce théorème de Schinzel, j'ai un peu cherché, je ne trouve rien en rapport avec mon problème ...

Pour information, je vous livre en image la solution du problème que j'aurais du poser : le cercle passe uniquement par les 5 points du pentagone proposé (qui possède un axe de symétrie), et par aucun autre point du quadrillage.

castoriginal >> j'aurais pu à la limite accepter tes coordonnées de points non-entières, puisque ton image était bonne et qu'il suffisait d'une petite translation de 0,5 sur tes coordonnées.
Malheureusement, tu n'as pas donné la valeur exacte du rayon, qui était bien demandée.
De plus, pour ta solution du pentagone croisé, il est vrai que je n'avais pas exclus ce cas, mais ta réponse ne marche pas, car j'avais bien précisé que les 5 points devaient être distincts.

dpi >> ton point 5 n'est pas aux coordonnées (-1;-1) mais (1;-1). J'ai tout de même accepté ta réponse puisque l'image était correcte et que j'acceptais la réponse en image.

Chatof >> tu donnes des coordonnées dans l'espace ?? D'après l'énoncé, on se plaçait dans un plan.

Enigmo 258 : Pentagone inscrit

Posté par
castoriginal
Enigmo 258 : Pentagone inscrit 08-01-12 à 13:08

perduBonjour à tous,

>>>Jamo

Je suis étonné parce que dans mon premier message, j'ai bien donné la valeur du rayon
R = 1,5811388

Bien à vous

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 08-01-12 à 13:34

castoriginal >> oui, mais j'avais demandé la valeur exacte.

Posté par
manpower
re : Enigmo 258 : Pentagone inscrit 08-01-12 à 15:33

Effectivement, cela paraissait beaucoup trop simple pour mériter les quatre étoiles... du coup, je n'ai pas osé !!

Posté par
pdiophante
Enigme 258 08-01-12 à 23:48

perduBonsoir,

Errare humanum est. Erreur de recopie. Le cinquième point de ma solution a pour coordonnées (3,1) et non (1,4) qui sont des coordonnées absurdes). Dura lex,sed lex.
Le théorème de Schinzel avec bien d'autres références est évoqué dans la rubrique que j'avais diffusée il y a plusieurs mois avec un cercle passant exactement par 7 points de coordonnées entières. Voir:
http://www.diophante.fr/problemes-par-themes/logique/e6-autres-casse-tete/1225-e646-cercles-et-coordonnees-entieres

Bien à vous.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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0 0

Temps de réponse moyen : 112:48:50.


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