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Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux

Posté par
jamo Moderateur
17-05-12 à 10:27

Bonjour tout le monde,

nous allons nous intéresser dans cette énigme à une famille de triangles que j'ai décidé d'appeler "Pythagodécimaux".
Voici les caractéristiques d'un triangle Pythagodécimal :
- c'est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont entiers ;
- l'hypoténuse est une puissance de 10 (10, 100, 1000, ...) ;
- les deux petits côtés ne sont pas des multiples de 10.

Voici deux exemples de tels triangles : (6;8;10) et (28;96;100).
En effet, on a bien :
6^2+8^2=10^2
 \\ 28^2+96^2=100^2

Par contre, le triangle (60;80;100) ne convient pas à cause de la 3ème condition, les petits côtés ne doivent pas être des multiples de 10 (cette condition est là pour éviter de construire de nouveaux triangles à partir d'un autre en simplement multipliant les côtés par 10, 100, etc ...).

Pour l'énigme, je vous propose d'aller jusqu'au million ...

Question : Trouver tous les triangles Pythagodécimaux dont les hypoténuses sont égales à 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 et 1 000 000.

Donner les triangles sous la forme (a;b;c) où c est l'hypoténuse (comme en exemple).
On considérera que les triangles (a;b;c) et (b;a;c) sont les mêmes, inutiles de me les donner en double.
S'il existe d'autres triangles que ceux donnés en exemple dont l'hypoténuse est égale à 10 ou 100, je les veux aussi.

Et si ça se trouve, il n'existe pas d'autres triangles que les deux donnés exemple !

Bonne recherche !

Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux

Posté par
masab
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 17-05-12 à 11:10

gagnéAvec l'hypothénuse 10, il y a 1 triangle
[6, 8, 10]
Avec l'hypothénuse 100, il y a 1 triangle
[28, 96, 100]
Avec l'hypothénuse 1000, il y a 1 triangle
[352, 936, 1000]
Avec l'hypothénuse 10000, il y a 1 triangle
[5376, 8432, 10000]
Avec l'hypothénuse 100000, il y a 1 triangle
[7584, 99712, 100000]
Avec l'hypothénuse 1000000, il y a 1 triangle
[658944, 752192, 1000000]

Posté par
totti1000
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 17-05-12 à 11:18

gagnéSalut jamo,

Je propose les triangles suivants :

(6;8;10)
(28;96;100)
(352;936;1000)
(5376;8432;10000)
(7584;99712;100000)
(658944;752192;1000000)

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 17-05-12 à 11:24

gagnéJe trouve :
6-8-10
28-96-100
352-936-1000
5376-8432-10000
7584-99712-100000
658944-752192-1000000

Posté par
Benwat
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 17-05-12 à 15:28

gagnéJ'en ai 6.

(6;8;10)
(28;96;100)
(352;936;1 000)
(5 376;8 432;10 000)
(7 584;99 712;100 000)
(658 944;752 192;1 000 000)

Voilà.
C'était marrant, merci.

Posté par
jimss
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 17-05-12 à 16:47

gagnéBonjour,

Je propose :
(6;8;10)
(28;96;100)
(352;936;1000)
(5376;8432;10000)
(7584;99712;100000)
(658944;752192;1000000)

Posté par
RickyDadj
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 17-05-12 à 18:21

gagnéSalut, Jamo, et merci pour l'enigme.
Je propose les triangles suivants:
(6;8;10)
(28;96;100)
(352;936;1000)
(5376;8432;10000)
(7584;99712;100000)
(658944;752192;1000000)

Je croise les doigts pour qu'il n'y en ait pas d'autres...

Posté par
Skep
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 17-05-12 à 20:17

gagnéBonjour Jamo merci pour l'enigmo

10 : (8;6;10)
100 : (28.  96.  100)  
1000:     (352.  936.  1000)
10'000 :  (5376.  8432.  10000)
100'000 :    (7584.  99712.  100000)  
1'000'000 :     (658944.  752192.  1000000)  

Voici mon programme sous Scilab ( moins de 2.57 s pour trouver pour 10^6 )
Comme on avait C fixé, mon idée a été d'avoir qu'une seule variable A et apres d'en déduire B, on évite comme ça les deux boucles for et donc du temps, de plus j'ai remarqué que la premiere variable était toujours divisible par 4  :
tic()
C=1000000
for A=0:4:10^6
    if A^2>C^2 then
        break;
    end
B=sqrt(C^2-A^2)
if int(B)==B & modulo(A,10)<>0 & modulo(B,10)<>0 then
    disp(C,B,A)
end
end
disp(toc())

Posté par
sbarre
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 17-05-12 à 22:34

gagnéBonjour,
j'ai toujours fait mes enigmes à la main ou presque (feuille calcul excel) mais la clairement il faut faire un algorithme!
Je me suis donc lancé avec Algobox et ai un peu galéré pour comprendre que = c'est == et que afficher n affiche n et pas sa valeur...
Au final 15, 20 lignes pour trouver les solutions suivantes:
(6;8;10)
(28;96;100)
(352;936;1000)
(5376;8432;10000)
(7584;99712;100000)
(658944;752192;1000000)

Les solutions ont été trouvées en quelques secondes par la machine: en fait c'est un peu décevant comme brain teaser...
J'attend avec impatience la suivante...
A bientot

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 17-05-12 à 23:15

gagnéBonjour Jamo,

Il n'y en a qu'un à chaque fois :
(6 ; 8 ; 10)      (28 ; 96 ; 100)      (352 ; 936 ; 1000)      (5376 ; 8432 ; 10000)      (7584 ; 99712 ; 100000)      (658944 ; 752192 ; 1000000)

Posté par
LeDino
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 18-05-12 à 01:49

gagnéBonsoir,

Il semble qu'il y ait un triplet solution pour chaque puissance de 10 :
( 6 ; 8 ; 10 )
( 28 ; 96 ; 100 )
( 352 ; 936 ; 1.000 )
( 5.376 ; 8.432 ; 10.000 )
( 7.584 ; 99.712 ; 100.000 )
( 658.944 ; 752.192 ; 1.000.000 )

Merci pour l'énigme !

Posté par
Chatof
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 18-05-12 à 03:42

gagné( 6 ; 8 ; 10 )
( 28 ; 96 ; 100 )
( 352 ; 936 ; 1000 )
( 5376 ; 8432 ; 10000 )
( 7584 ; 99712 ; 100000 )
( 658944 ; 752192 ; 1000000 )

Merci pour l'énigme

XCAS :
Pytd(n):={
  local c , j , p , x , y , r ;
  r:=1;
  pour j de 1 jusque n faire
    r:=r*10;
    y:= floor(r/sqrt(2))+1;
    p:=1;
    pour x de  floor(r/sqrt(2)) jusque r faire
      c:=0;
      while (x*x + y*y > r*r) {y:=y-1 ;if (c==1){p:=p+1}; c:=c+1}
      if ((x*x + y*y == r*r) et (x/10<>floor(x/10)) et (y/10<>floor(y/10))) { afficher(y,x,r);}
      y:=y-p;
    fpour;
  fpour;}:;

Posté par
caylus
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 18-05-12 à 09:55

gagnéBonjour Jamo,

Sauf erreur(s), et en recopiant les exemples donnés:

(6     ,8     ,10 )      
(28    ,96    ,100 )      
(352   ,936   ,1000)      
(5376  ,8432  ,10000)    
(7584  ,99712 ,100000)    
(658944,752192,1000000)  

Merci pour l'énigmo.

Posté par
Kidam
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 18-05-12 à 11:14

gagnéBonjour tout le monde !

Chose amusante, je n'en trouve qu'un par puissance de 10 :
(6;8;10)
(28;96;100)
(352;936;1000)
(5376;8432;10000)
(7584;99712;100000)
(658944;752192;1000000)

Merci pour l'énigme

Posté par
geo3
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 18-05-12 à 14:02

gagnéBonjour
Je dirais
(6, 8, 10 ) : le premier exemple      
(28, 96, 100 ) : le deuxième exemple    
(352, 936, 1000 )      
(5376, 8432, 10000 )    
(7584 , 99712, 100000 )    
(658944,752192, 1000000 )

Merci
A+

Posté par
dpi
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 18-05-12 à 14:43

gagnéBonjour,

Je propose:
les deux de l'exemple
10 6 8
100 28 96
avec
1000     352     936
10 000    5376    8432
100 000   7584    99712
1 000 000 658944  752192

Posté par
Tof
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 18-05-12 à 16:30

gagnéBonjour à tous,

Je propose les triplets suivants :
(6,8,10)
(28,96,100)
(352,936,1000)
(5376,8432,10000)
(7584,99712,100000)
(752192,659944,1000000)

Et j'espère ne pas en avoir oublié, je ne suis pas certain cette fois-ci.

Merci pour l'énigme,

Tof

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 18-05-12 à 19:52

gagnéBonjour,

Voici ma réponse :

Je trouve au total 6 triangles Pythagodécimaux, un pour chaque hypoténuse.
                               (6, 8, 10)
                             (28, 96, 100)
                            (352, 936, 1000)
                          (5376, 8432, 10000)
                         (7584, 99712, 100000)
                       (658944, 752192, 1000000)


Merci!

Posté par
rschoon
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 19-05-12 à 10:47

gagnéBonjour.

Ma réponse :
(6;8;10)
(28;96;100)
(352;936;1000)
(5376;8432;10000)
(7584;99712;100000)
(658944;752192;1000000)

Cordialement

Posté par
alainpaul
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 20-05-12 à 13:01

perduBonjour,



1^2+3^2 = 10
 \\ 6^2+8^2 = 100
 \\ 18^2+26^2 = 1000
 \\ 28^2+96^2 = 10000
 \\ 12^2+316^2 = 100000
 \\ 352^2+936^2 = 1000000


Stabilité de formes quadratiques:
\Pi(x_i^2+y_i^2) = z_j^2+t_j^2 ,   i    de  1  à  n .
Tous ces nombres sont des entiers positifs.

Ici, cas particulier:
(1^2+3^2)^n = z_1^2+t_1^2  et  z_2^2+t_2^2  



Alain

Posté par
brubru777
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 20-05-12 à 16:19

gagnéBonjour,

Je trouve 1 triangle par hypothénuse
(6; 8; 10)
(28; 96; 100)
(352; 936; 1000)
(5376; 8432; 10000)
(7584; 99712; 100000)
(658944; 752192; 1000000)

10^2 = 6^2 + 8^2
100^2 = 28^2 + 96^2
1000^2 = 352^2 + 936^2
10000^2 = 5376^2 + 8432^2
100000^2 = 7584^2 + 99712^2
1000000^2 = 658944^2 + 752192^2

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 20-05-12 à 19:20

gagnéBonjour,
Encore une fois, le Quick Basic m'a aidé. Mais j'ai des doutes sur ma programmation.
Je trouve qu'un triangle pour chaque valeur de l'hypoténuse. Ce qui donne:
(6;8;10)
(28;96;100)
(352;936;1000)
(5376;8432;10000)
(7584;99712;100000)
(658944;752192;1000000)

Posté par
torio
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 21-05-12 à 12:26

gagnéA+
Torio

Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux

Posté par
salmoth
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 21-05-12 à 20:23

gagnéBonjour

voici la reponse que je propose:

il y a un triangle pythagodécimal pour chaque puissance de 10 donnée (à une permutation près entre les petits cotés !), à savoir:
(6; 8; 10)
(28; 96; 100)
(936; 352; 1000)
(8432; 5376; 10000)
(7584; 99712; 100000)
(752192; 658944; 1000000)


merci pour l'enigme
pour trouver ces triangle, il faut rechercher les couple (x;y) tels que x2 + y2 = 5n en incrémentant n à chaque étape et en utilisant que 5 = 22 + 12 (n=1)

Posté par
abdoullah
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 22-05-12 à 18:19

perduSalut :
*pour 10 :
(6,8,10)
*pour 100:
(28,96,100)
*pour 1000:
(352,936,1000)
*pour 10 000:
(5376,8432,10000)
*pour 100 000:
(2432,37472,100000)
(7584,99712,100000)
(15488,34208,100000)

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 22-05-12 à 20:32

gagnéBonjour.

(6; 8; 10)
(28; 96; 100)
(352; 936; 1000)
(5376; 8432; 10000)
(7584; 99712; 100000)
(658944; 752192; 1000000)

Quand le pgcd du triplet est 1, le plus grand nombre est impair. En l'occurrence, c'est la puissance de 5 la plus grande possible, car autrement, le multiplicateur pour revenir à une puissance de 10 serait divisible par 10.

programme de la macro Visual Basic :

Sub pythagore()
Dim hyp As Long, a As Long, c As Double
hyp = Application.InputBox(prompt:="hypoténuse")
For a = 1 To Int(hyp / Sqr(2))
c = Sqr(hyp ^ 2 - a ^ 2)
If c = Int(c) Then
MsgBox (c & " " & a)
End If
Next a
End Sub

on entre successivement 5, 25, 125, 625, 3125 et 15625 et on multiplie les résultats respectivement par 2, 4, 8, 16, 32 et 64, en omettant les multiples de 5.

Posté par
gloubi
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 24-05-12 à 12:53

gagnéBonjour jamo,

Ma solution:

(6; 8; 10)
(28; 96; 100)
(352; 936; 1 000)
(5 376; 8 432; 10 000)
(7 584; 99 712; 100 000)
(658 944; 752 192; 1 000 000)

Et pour le plaisir:

(2 063 872; 9 784 704; 10 000 000)
(42 197 248; 90 660 864; 100 000 000)
(472 103 424; 881 543 168; 1000 000 000)

Merci pour l'énigme !  

Posté par
ksad
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 24-05-12 à 18:20

gagnéBonjour,
Je trouve un nouveau triangle pour chaque ordre de grandeur :
(6;8;10)
(28;96;100)
(352;936;1000)
(5376;8432;10000)
(7584;99712;100000)
(658944;752192;1000000)
Merci pour l'enigmo !

Posté par
rezoons
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 27-05-12 à 15:57

gagnéBonjour ,

Je propose:
6²+8²=10²
28²+96²=100²
352²+936²=1000²
5376²+8432²=10000²
7584²+99712²=100000²
658944²+752192²=1000000²


Pour chaque puissance de 10 la solution est unique.

Programme utilisé:

Citation :
> Pythagodecimaux := proc(n)
local a,b;
for a from 1 to floor((10^n-1)/(sqrt(2))) do
if a mod 10<>0 and frac(evalf(sqrt(100^n-a^2),12))=0 then print(a,sqrt(100^n-a^2),10^n);
fi: od: end;

Posté par
Pantagruel
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 30-05-12 à 19:15

gagnéBonjour tout le monde
- Je propose ceci:
  (6, 8, 10)
  (28, 96, 100)
  (352, 936, 1000)
  (5376, 8432, 10000)
  (7584, 99712, 100000)
  (658944, 752192, 1000000)  

Posté par
panda_adnap
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 01-06-12 à 18:30

gagnéBonjour
6 solutions

10 6 8
100 28 96
déja données
----
1000 352 936
10000 5376 8432
100000 7584 99712
1000000 658944 752192

Posté par
Gryfo
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 05-06-12 à 17:07

perduBonjour et merci pour l'énigme !

Je vais répondre tout en étant très peu certain de ne pas avoir oublié de configurations possibles. Je me suis aidé d'un programme et lorsque l'hypoténuse vaut 1 million c'est trop... Donc voilà, il est très peu probable que je reçoive le smiley mais sait-on jamais ! Donc voici mes propositions :

(6;8;10)
(28;96;100)
(352;936;1000)
(5376;8432;10000)
(7584;99712;100000)


À bientôt

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 08-06-12 à 07:56

Clôture de l'énigme

Pour cette article, je me suis inspiré d'un article paru dans un bulletin de l'APMEP, où on cherchait les angles tels que leurs cosinus et sinus soient des nombres décimaux, c'est-à-dire les couples de décimaux (x;y) tels que x²+y²=1.
Ce problème est bien entendu équivalent au problème que je proposais ici.

Dans cet article, il était démontré qu'il existe un seul triangle par "décade". De plus, il me semble bien qu'ils y donnaient des formules permettant de tous les calculer (des formules par récurrence je crois bien).

Enfin bref, bravo à tous ceux qui ont trouvé les solutions !

Posté par
alainpaul
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 08-06-12 à 11:00

perduBonjour,

Pour moi les solutions peuvent se construire
à fur et à mesure à partir des relations connues:

(a^2+b^2)\times (c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2
 \\ = (ac+bd)^2+(ad-bc)^2

Sur les deux , une convient,


Alain

Posté par
Benwat
re : Enigmo 270 : Les triangles Pythagodécimaux 09-06-12 à 10:14

gagnéHa oui, en effet.

On pose :
x0 = 6
y0 = 8

...et on a :
-n est pair
xn+1 = 8yn - 6xn
yn+1 = 6yn + 8xn
-n est impair
xn+1 = 6yn - 8xn
yn+1 = 8yn + 6xn

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