Bonjour,

Rayon R du cercle : 23.955 m
Hauteur H de l'autre extrémité : 4.935 m

Merci pour cette énigme géométrique, très difficile mais très intéressante...

Bonjour
Je trouve un rayon R = 23.9554 m
Et une hauteur de H = 4.9347 m
merci pour l'Enigmo !

Bonjour

Sympathique exercice
Je trouve un rayon de 24.161 m avec une hauteur de 3.962 m

Bonjour et merci à Jamo pour cette jolie énigme

A vue d'oeil , en regardant les photos et en blaguant un peu, je propose:

R=23,955 m.
h=4,935m.

RE

Avec davantage de précision
R=24.1 et h=4.245

Après quelques tatonnements, je trouve H=4,963 m et R=23,950 m (arrondis au mm le plus proche)

pour un angle de 115,5°

R= 23955 mm
H= 4935 mm

A+
Torio

Bonjour
Je pense bien que
R = 23.95543 = 23.956 et H = 4.934651 = 4.935  
A+

R=42.449m
H=0.081m

Bonjour Jamo,

R=23,955 (m)
H=4,935 (m)

Merci pour l'énigmo.

Bonsoir,

miam un peu de géométrie...

je pense, en considérant que le sol est tangent à l'arc, que le rayon R de l'arc et la hauteur H valent (à la précision demandée):
R23,955m et H4,935m.

Merci pour l'enigmo.

Bonjour,

R=19+Rcos(x)
38=Rsinx(x)+Rsin(y) avec y = 115.5 - x
H=R(1-cos(y))

R=19/(1-cos(x))
19 (sin(x)+sin(y))/(1-cos(x) = 38   (E1)

une résolution numérique de (E1) donne x=78.061566°
R = 23.955 m
H = 4.935 m

Merci pour l'énigme.

Quatre étoiles ? Mazette ! Alors je fais travailler mon esclave Maple.



et je vérifie graphiquement la plausibilité des résultats (modèle au 1/10e)

Bonjour,

R = 23,955 m
H =  4,935 m



Solution à 1 étoile (pas propre, mais rapide) :
a + b = 115,5°
R(1-cosa) = 19
R(1-cosb) = H
Rsina + Rsinb = 38

Sur un tableur, on fait varier l'angle a.
Pour chaque valeur de a, on calcule :  R = 19/(1-cosa)
On calcule aussi :  b = 115,5°-a  et  H = R(1-cosb)
Et enfin :  EPSILON = R(sina + sinb) - 38

Lorsque EPSILON est tout proche de zéro, on a la solution approchée ...

A peu de chose près, il se peut que l'artiste ait choisi l'angle de 115,5° comme respectant précisément la vision "harmonieuse" qu'il recherchait :

Largeur de l'oeuvre double de sa "grande" hauteur.
Rayon de l'oeuvre qui dépasse cette grande hauteur... juste de la petite hauteur (H).

R ~ 23,95 ~ 19 + 4,95

Le délire de l'artiste en image (à vérifier) :

Bonjour à tous.

Ma réponse :
R = 23,955 m
H = 4,935 m

Merci pour l'énigme

Bonjour et merci à toi, Jamo

Voici mes réponses :   R 23,954 m   ;   h 4,934 m

Bonjour jamo !
Ma première énigme à 4 étoiles !

Et quelle belle énigme, compliquée à souhait !

Bref, je propose :

R = 23,955m
H = 4,935m

Voici ma démarche

D'abord, figure :


(La configuration que j'ai choisi est celle pour laquelle l'angle de l'arc fait 115,5°)

O(0;0)
A(0;19)
B(38;0)
H(38;Y_H)

Il faut que le cercle C qui passe par A et H coupe le segment [OB] en un unique point (et oui, sinon cela voudrait dire que l'arc traverse le sol).

Dans un premier temps, négligeons cette condition et posons P(X_P;0), X_P]0;38[.

Nous pouvons alors déterminer les coordonnées du centre C du cercle passant par A, P et H en fonction de Y_H et de X_P :



Ca fait grimacer, je l'admet.

Quelle est la condition pour que C ne coupe [OB] qu'en un unique point ? Il faut que le rayon du cercle soit égal à l'ordonnée du centre de ce dernier. Soit :



Si on calcule le rayon, cela donne :



Ce qui nous amène finalement à résoudre l'équation suivante :



Si j'étais parvenu à isoler X_P, alors j'aurais trouvé l'abscisse de P tel que le cercle C coupe [OB] en un seul point.
Ensuite, j'aurais calculé l'angle en utilisant le théorème d'Al Kashi et j'aurais cherché pour quelle valeur de H cet angle vaut 115,5°, je n'aurais eu alors plus qu'à calculer le rayon de C pour cette hauteur en utilisant les expressions que j'ai donné auparavant, et j'aurais résolu le problème par le calcul et de façon précise.

Seulement, je ne vois absolument pas comment résoudre cette monstreuse équation. Tous les logiciels auxquels j'ai soumis cette colle ont fléchi.

Donc, j'ai utilisé le seul recourt qu'il me restait : GeoGebra. Je faisais varier manuellement X_P pour que le cercle C ne coupe [OB] qu'en un seul point. Puis je regardais l'angle ainsi formé.
Si ce n'était pas bon, je faisais varier Y_H, et ainsi de suite...

Et finalement, je suis tombé sur les valeurs que j'ai proposé. Cela reste très approximatif bien sûr, ce qui ne me donne pas de certitude quant à ma réponse.

Néanmoins, toute approximative qu'est ma démarche, la solution est relativement acceptable je pense.

Voilà, j'ai fini mon monologue, à bientôt !

PS : je tiens à remercier GeoGebra qui m'a une fois de plus tiré du pétrain (combien d'énigmes n'aurais-pas pas résolu sans lui) ainsi que Bagatrix qui m'a évité de nombreuses heures de calculs qui n'en finissent pas et du même coup de grosses migraines (même si il n'est pas parvenu lui non plus à résoudre la fameuse équation).

Hé bé... on peut dire que cette énigme m'aura bien fait suer !!!!

Ma démonstration n'est pas des plus rigoureuses et je suis d'ailleurs impatient de voir comme s'en sont sorti les autres, mais au moins, je pense avoir le bon résultat.

J'ai commencé par faire une figure la plus juste possible (merci Géogebra)

J'ai alors remarqué que le quadrilatère AEDE' était vraisemblablement un losange.
Je n'ai donc eu qu'à utiliser Pythagore dans divers triangles :

Mes notations :
= Angle de l'arc (115°5")
R = Rayon de l'arc.
L = Longueur de l'arc (38m)
H = Grande hauteur de l'arc (19m).
h = Petite hauteur de l'arc (notée H dans l'énoncé).
c = Corde de l'arc (AD sur le schéma).

Dans ADF :
AD² = FD² + FA²
c² = L² + (H-h)² (E1)

Dans AGE' :
sin(/2) = c/(2R)
R = c/(2sin(/2)) (E2)

De (E1) et (E2), on en déduit une première relation entre R et h :
R = (L²+(H-h)²)/(2sin(/2))

Dans ABE :
AE² = BE² + AB²
R² = BE² + H²
BE² = R² - H² (E3)

Dans CDE :
DE² = DC² + CE²
R² = h² + (L-BE)²
On injecte (E3)
R² = h² + (L - (R²-H²)²)

Cette dernière ligne nous donne une deuxième relation entre R et h.
J'ai injecté la première dans la deuxième et résolu par dichotomie.

Je trouve alors h = 4,976 m (4,976214426 pour être plus précis)
En utilisant ce h dans la première relation avec R, on trouve R = 23,947 m

Je sais bien que je n'ai pas prouvé que AEDE' n'est pas un losange, mais je n'ai pas trouvé comment faire...
J'attendrais donc la correction.

Bonjour avec geogebra, je trouve:
une possibilité (il doit y en avoir une infinite, je pense):
rayon:  23.955
hauteur de l'autre extrémité: 4.935
valeurs arrondies au mm.

Bonjour,

Au millimètre le plus proche, on obtient R = 23,955 mètres et H = 4,935 mètres.

Bonjour,
Je dirais H=11,571 et R=27,274.
Merci pour cette énigme.

Bonjour,

Merci pour cette super énigme !

Je trouve un rayon de 23,995m et une hauteur de 4,935m.

Bonjour,

Je trouve R = 23,955m et H = 4,935m. Ce n'était pas demandé mais je trouve que la sculpture touche le sol à 23.437m de son point le plus élevé (distance horizontale).

Merci pour l'énigme.

Salut jamo,

je propose : H4,935 et r23,955.

Merci pour l'énigme.

Je trouve et .

R=23,955 m  H=4,935 m

bonjour et merci Jamo pour cette énigme




merci Xcas   [lien] et  geogebra [lien]

Question : Déterminer le rayon R du cercle et la hauteur H de l'autre extrémité, avec une précision au millimètre.

Résoudre le système d'équation :

R sin a + R sin b = 38
R cos a = R - 19
R cos b = R - H
a+b = 115.5°  ou plutôt  a+b= u mesure en radians des 115.5°

--------------------------------------------------------------------------------


on va essayer de trouver un algorithme convergent vers un couple de valeurs (R, a) en utilisant les trois équations

a + b = u (constante)
R sin a + R sin b = 38
R cos a = R - 19

ensuite on calcule b=u-a et H = R - R cos b

quelque chose comme ceci a des chances de marcher :

choisir a_0
a_0 -> R0 = 38 / (sin a_0 + sin(u-a_0) ) -> a_0' = arc cos (1-19/R_0)

continuer avec a_1 = (a_0 + a_0')/2

jusqu'à a_n et a_n' suffisamment proches


--------------------------------------------------------------------------------

je trouve en effet que ça converge très rapidement vers :

a = 78.0616
b = 37.4384
R = 23.9554
H = 4.93465

en arrondissant au mm on a
R = 23,955 mètres
H = 4,935 m



--------------------------------------------------------------------------------
function atoa(a,        r,a1) {
        r = 38/(sin(a) + sin(u-a))
        a1 = atan2( sin(a), 1-19/r)
        return (a+a1)/2
}

BEGIN {
        Pi = 4 * atan2(1, 1);
        u = 115.5/180*Pi;
        print u;
}


END {
# choisir L et a ci-dessous
        L = 100
        a = Pi/6
#
        t[0] = a
        for(n = 1; n<= L; n++) {
                t[n] = atoa(t[n-1])
                print 180*t[n]/Pi;
        }
        a = t[L]
        b = u - a
        A = (180*t[L]/Pi)
        B = 115.5 - A
        R = (38/(sin(a) + sin(b)))
        H = R - R * cos(b)
        print "a = " A
        print "b = " B
        print "R = " R
        print "H = " H

-
JP Davalan

re bonjour

La réponse au millième m'a interrogée!
J'ai donc cherché une équation (du second degré d'inconnue x = 19/R) résolvante.
En prenant  115°,45 u 115°,55 et un encadrement [18,999; 19,001]j'obtiens:
23,941 R 23,965 ET
4,928 H 4,945.

les bonnes réponses sont plutôt à 10^-2 près

Bien à vous

Premièrement, il y a la relation ci-dessous qu'on peut trouver à partir de la première construction que j'ai attaché. Le théorème d'Al-Kashi et le théorème de Pythagore ont été nécessaires.


Et avec le deuxième dessin, à coup de relation de Pythagore, il y a la relation ci-dessous.


Ces relations nous donnent un système d'équation pas joli à résoudre.



J'ai trouvé comme solution, approximativement et en mètre, et .

Merci de l'énigme.

Clôture de l'énigme

La bonne réponse, avec la bonne précision était : R = 23,955 et H = 4,935.

Il est dommage que certains récoltent un poisson parce qu'ils n'ont pas respecté la consigne sur la précision !

Certains d'entre vous se sont interrogés sur les dimensions mystérieuses de cette sculpture, ont-elles été prises au hasard ou pas ? Je crois que quelques pistes ont été trouvées ...

Un membre m'a signalé qu'un projet d'un arc encore plus grand est à l'étude depuis 1984 :

Ah oui, et j'en profite pour signaler que j'avais fait une erreur dans le prénom de l'artiste : c'est Bernar et non pas Bernard !

Et du coup, c'est pdiophante qui remporte le mois de février !

Bonjour,
je reviens sur ce que j'ai ecrit:

Felicitations au gagnant de ce mois, que j'ai personnellement trouve tres difficile... mais d'autant plus interessant !

Bonjour jamo,

Je me fiche d'avoir un poisson ou un smiley, mais j'aimerais comprendre pourquoi la réponse que j'ai (ou plutôt que Maple a) donnée
R=23,95543251  H=4,934650642
n'est pas une réponse à la
Question : Déterminer le rayon R du cercle et la hauteur H de l'autre extrémité, avec une précision au millimètre.
C'est parce que la réponse est plus précise qu'une réponse au millimètre près

Bravo Pdiophante   

Une victoire bien méritée.

Bonjour GaBuZoMeu

@ gabuzomeu:

Je suis surtout impressionné de la précision exceptionnelle de la réponse de Chatof. On ne peut pas faire mieux.

J'imagine les guides touristes dire que la hauteur de la sculpture est d'environs 19 sur blablabla fois le reste .

>Jamo

L'arc de la fensch vallée est donné sur ma source pour
75 m de diamètre,54 m point haut (à gauche) et 20m (à droite)
Comme il est entèrré partiellement,en supposant que l'accotement
soit au niveau 0 (comme l'autoroute),il serait bon de poser
la question quelle distance sépare les 2 extrémités à la base.

Je pense que ceux qui ont bien répondu se régaleraient de cette
nouvelle difficulté

Une pensée pour GaBuZoMeu

Bienvenue au club, il faudrait parfois  des sardines et pas de thons

(voir les moments pythagoriciens)

Merci pour cette énigme au top !

Bonjour,
Merci pour les compliments.
Je tombe des nues. Répondant généralement une semaine,voire plus, après la diffusion de chaque énigme, j'ai toujours estimé,en tant que tortue,que mes chances de devancer un jour ou l'autre les lièvres les plus aguerris seraient toujours extrêmement faibles.J'avais oublié une certaine fable qui une fois sur mille dit vrai.

Salut à tous,

Félicitations à toi pdiophante !

Bonjour,

Qui essayera de trouver la réponse à l'arc
(partiellemnt enterré )de la fensch vallée.

Disons que l'énoncé est modérément clair.