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Niveau 3 *
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Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *

Posté par
jamo Moderateur
01-07-08 à 13:12

Bonjour,

voici une petite énigme d'un nouveau genre. Si elle a du succès, on pourra en envisager de similaires.
Même si l'énigme semble très "mathématique", elle ne demande pas de connaissances très évoluées : si on comprend l'énoncé, on doit pouvoir la résoudre.

Dans un repère orthonormal d'origine O, on considère le point A de coordonnées (0;a) avec a>0, le cercle C de diamètre [OA], et la droite horizontale D d'équation y=a.

Pour toute droite non horizontale passant par le point O (en bleu sur le dessin), on définit le point N sur le cercle C et le point P sur la droite D.
On définit ensuite le point M en prenant l'abscisse du point P et l'ordonnée du point N.

Lorsque la droite bleue "tourne" autour du point O, le point M se balade donc sur une courbe, en rouge sur le dessin.

Question : donner l'équation de la courbe rouge. Cette équation doit être donnée sous forme explicite, où y est exprimé en fonction de x et du paramètre a : y=f(x,a). Aucun autre paramètre ne doit donc intervenir.


Bonne recherche !

Question subsidiaire : quel est le nom de cette courbe ?

Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée

Posté par
piepalm
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 01-07-08 à 15:02

gagnéSoient (t,r) les coordonnées polaires du point N: on a donc r=asint. P a donc pour coordonnées (a/tant, a) et M: (x=a/tant,y=a(sint)^2. et comme (sint)^2/(tant)^2=1-(sint)^2
yx^2/a^2=a-y, donc
y=a^3/(a^2+x^2)
Je pense que c'est une cubique circulaire, mais mes souvenirs sont loin...

Posté par
mikayaou
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 01-07-08 à 15:45

gagnébonjour

on arrive à y = a^3/(a²+x²)

qui est la cubique d'Agnesi,( Maria Gaetana Agnesi est une des premières femmes mathématiciennes italienne du 18° )

Elle ressemble à la versiera ou la visiera ou à la conchoïde de Külp

Cependant, cette courbe avait été préalablement étudiée par Fermat

Posté par
TiT126
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 01-07-08 à 15:46

gagnésalut Jamo,

Personnellement j'ai adoré cette énigme, j'espère que il y en aura d'autre

Allé pour la peine je me lance dans une demo

N appartient au cerle de centre 3$I(0;\frac{a}{2}) et et rayon 3$\frac{a}{2}

Donc les coordonnées de N obeissent a :
3$(x_N^2-0)^2+(y_N-\frac{a}{2})^2 = (\frac{a}{2})^2
 \\ x_N^2+y_N^2-ay_N + (\frac{a}{2})^2 = (\frac{a}{2})^2
 \\ x_N^2+y_N^2-ay_N = 0

La droite (D) à pour équation : y = bx or N appartient à (D) et a C
Donc N vérifie :

3$\{{y_N = bx_N \atop x_N^2+y_N^2-ay_N = 0}

3$\{{x_N = \frac{y_N}{b} \atop (\frac{y_N}{b})^2+y_N^2-ay_N = 0}

3$\{{x_N = \frac{y_N}{b} \atop y_N(\frac{y_N}{b^2}+y_N-a) = 0}

3$\blue\fbox{y_M(y_M(\frac{1}{b^2}+1)-a) = 0}(1)  Car yM = yN

Or P appartient à (D) et à y = a, donc :

3$\{{y_P = bx_P \atop y_P = a}

On conclut : 3$a=bx_P, donc 3$\blue\fbox{b=\frac{a}{x_P}=\frac{a}{x_M}}(2)  Car xM = xP


(1) et (2) =>
3$y_M(y_M(\frac{x_M^2}{a^2}+1)-a) = 0
 \\ y_M(\frac{x_M^2}{a^2}+1)-a = 0
 \\ y_M = \frac{a}{\frac{x_M^2+a^2}{a^2^}}
 \\ y_M = \frac{a^3}{x_M^2+a^2}

Donc M décrit la fonction : 4$\red\fbox{y = \frac{a^3}{x^2+a^2}}


Posté par
gloubi
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 01-07-08 à 15:55

perduBonjour,

On trouve, pour tout x 0, 4$%20y%20=%20\frac{a}{\frac{1}{x^2}+1}

Une courbe de Gauss, me semble-t-il.

A+  

Posté par
bapader
*challenge en cours* 01-07-08 à 16:04

gagnéBonjour,

Je trouve y=\frac{a^3}{x^2+a^2} ; après une petite recherche, cette courbe s'appelle la cubique d'Agnesi, ou witch of Agnesi en anglais (http://www.mathcurve.com/courbes2d/agnesi/agnesi.shtml)... ce qui explique le titre de l'énigme !

Quelques étapes du calcul :
Soit (x,y) les coordonnées de M, et soit x_N l'abscisse de N.
On a d'abord : \frac{x}{x_N} = \frac{a}{y}.
Et comme N est un point du cercle C, on a : x_N^2 = y(a-y).
Reste à extraire y de l'expression.

BA.

Posté par
link224
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 01-07-08 à 16:11

gagnéSalut jamo.

L"équation de la courbe rouge est y=\frac{a^3}{x^2+a^2}
Quant au nom de la courbe, je n'en sais rien, je vais aller voir sur Wiki...

@+ et merci pour l'énigme!

Posté par
veleda
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 01-07-08 à 17:01

gagnébonjour jamo
je vais essayer de ne pas me laisser déborder ce mois ci
pour équation de la courbe en rouge je trouve  y=a^3/(a^2+x^2)
c'est la cubique (sorcière) de Maria Agnesie
merci et bonnes vacances

Posté par
rogerd
Ma courbe bien-aimée * 01-07-08 à 17:10

gagnéBonjour Jamo, et merci pour cette jolie courbe!

Ayant formé l'équation du cercle, on a sans problème les coordonnées de N en fonction de celles de P. Comme l'abscisse x de M est celle de P et l'ordonnée y de M est celle de N on a immédiatement l'équation de la courbe:

y=\frac{a^3}{a^2+x^2}.

Il s'agit de la cubique d'Agnesi (du nom d'une mathématicienne italienne).

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 01-07-08 à 17:44

gagnéL'équation de la courbe est y = a3/(x2+a2)

Posté par
manpower
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 01-07-08 à 18:04

gagnéBonjour,

rapido (et bourrin), en passant par les coordonnées de N et P en fonction d'un paramètre b (issu de la droite d'équation y=bx), on a:
N(\frac{ab}{1+b^2};\frac{ab^2}{1+b^2}) et P(\frac{a}{b};a)
D'où M(\frac{a}{b};\frac{ab^2}{1+b^2}) puis finalement en éliminant le paramètre b, l'équation cartésienne y=3$\frac{a^3}{x^2+a^2}.

Merci pour l'exercice !

Posté par
ThierryMasula
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 01-07-08 à 18:13

gagnéRe-bonjour jamo,

Les coordonnées des points N et P sont:

4$\left\{\array{llll$N & = & a.\cos\,\theta & \left(\sin\,\theta ,\cos\,\theta \right)\\P & = & a. & \left(\tan\,\theta ,1\right)}\qquad \qquad avec\,\theta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

Les coordonnées du point M sont donc:

4$\array{llll$M & = & a. & \left(\tan\,\theta , \cos^2\,\theta \right) }

or

4$\frac1{\cos^2\,\theta } = \tan^2\,\theta +1

L'équation de la courbe est donc:

\fbox{4$ y(x) = \frac{a^3}{a^2+x^2}}

Pour ce qui est de son nom, je l'appellerais bien "attention où tu mets les pieds, y a une bosse dans le tapis".

Posté par
Flo08
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 01-07-08 à 18:42

gagnéBonjour,

On pose x et y les coordonnées du point M.

Le triangle OAP est rectangle en A, donc    OA² + AP² = OP²
Le triangle OAN est rectangle en N, donc    ON² + NA² = OA²
Le triangle ANP est rectangle en N, donc    AN² + NP² = AP²

On sait aussi que    ON + NP = OP    soit    ON² + NP² + 2.ON.NP = OP²
On a également     OA = a     et     AP = x

donc :
a² + x² = OP²
ON² + NA² = a²
AN² + NP² = x²

soit     ON² + 2NA² + NP² = OP²
et comme    ON² + NP² + 2.ON.NP = OP²
on peut en déduire que    NA² = ON.NP

Si on définit un point H, intersection des droites (OA) et (MN), on a un triangle OHN rectangle en H, avec     OH = y

Et si on note l'angle formé par les droites (OA) et (OP), les relations trigonométriques dans les triangles rectangles OAN et OHN nous donnent la relation suivante :

cos = \fr{ON}{a} = \fr{y}{ON}     soit    ON² = a.y

Sachant que les droites (MN) et (AP) sont parallèles, le théorème de Thalès nous donne la relation suivante dans le triangle OAP :

\fr{OH}{OA} = \fr{ON}{OP}      soit     \fr{y}{a} = \fr{ON}{OP}     soit     y = \fr{ON}{OP} a

En élevant au carré cette relation, on obtient :

y² = \fr{ON^2}{OP^2}

Sachant que     ON² = a.y     et que    OP² = a² + x²

on obtient la relation suivante :    5$ \blue \fbox{ y = \fr{a^3}{a^2 + x^2} }


Et pour ce qui est du nom de la courbe... j'espère que la subsidiaire n'est pas éliminatoire  

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 01-07-08 à 18:46

gagnébonjour
soit g l'angle POX
AP = a*cos(g)
les angles OAN et POX ayant les côtés perpendiculaires chacun à chacun sont égaux : ON = a*sin(g)
l'ordonnée de N est ON*sin(g) = a*sin²(g)
pour tout x, g = arccos(x/a)
y = f(x,a) = a * sin²(arccos(x/a))

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 01-07-08 à 18:58

gagnéIl s'agit de la cubique d'Agnesi .

Posté par
xtasx
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 01-07-08 à 19:14

gagnéBonjour,

Je trouve comme équation pour cette courbe:

5$ y=\frac{a}{1+\frac{x^2}{a^2}}
 \\

Merci !

Posté par
Eric1
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 01-07-08 à 21:22

gagnésoit X=AP

f(X,a)=a-PM

on cherche l'ordonnée du point N
=> intersection du cercle et de la droite

cercle: x^2+(y-a/2)^2=(a/2)^2
droite: y=(a/X)x

=> x^2(1+a^2/X^2)-a^2x/X=0 => x(x(1+a^2/X^2)-a^2/X)=0
=> x=0 ou x=(a^2X)/(X^2+a^2)
la deuxieme solution est interessante

elle a pour ordonnée: y=a^3/(x^2+a^2)

Donc f(a,x)=a^3/(x^2+a^2)

Posté par
infophile
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 01-07-08 à 22:17

gagnéBonjour

Citation :
La courbe rouge a pour équation 4$ \rm \red \fbox{y=\frac{a^3}{x^2+a^2}}


\red \clubsuit Démonstration \red \clubsuit

Le cercle a pour équation paramétrique 3$ \rm \blue \fbox{\{x_N=a\cos(t)\\y_N=\frac{a}{2}+a\sin(t)}

Ainsi la droite 3$ \rm (ON) étant linéaire donc de la forme 3$ \rm y=\alpha x et passant par 3$ \rm N appartenant au cercle, on a :

3$ \rm \fbox{\frac{a}{2}+a\sin(t)=\alpha a\cos(t) \Longleftright \alpha =\frac{\frac{1}{2}+\sin(t)}{\cos(t)}}

L'équation de la droite 3$ \rm (ON) est donc 3$ \rm \magenta \fbox{y=\(\frac{\frac{1}{2}+\sin(t)}{\cos(t)}\)x}

Elle coupe la droite 3$ \rm y=a au point 3$ \rm P d'où :

3$ \rm \fbox{a=\(\frac{\frac{1}{2}+\sin(t)}{\cos(t)}\)x_P\Leftright x_P=\frac{a\cos(t)}{\frac{1}{2}+\sin(t)}}

Puisque le point 3$ \rm M a même abscisse que 3$ \rm P et même ordonnée que 3$ \rm N le lieu de point engendré par 3$ \rm M a pour équation paramétrique :

3$ \rm \blue \fbox{\{x_M=\frac{a\cos(t)}{\frac{1}{2}+\sin(t)}\\y_M=a\(\frac{1}{2}+\sin(t)\)}

En reportant 3$ \rm x_M dans la deuxième équation horaire il vient :

3$ \rm \magenta \fbox{y_M=a\times \[\frac{a\cos(t)}{x_M}\]}

Or on a 3$ \rm x_N=a\cos(t) d'où 3$ \rm y_M=\frac{ax_N}{x_M}

Elevons cette égalité au carré : 3$ \rm y_M^2=\frac{a^2x_N^2}{x_M^2}

Par ailleurs 3$ \rm y_N=y_M avec :

3$ \rm \blue \fbox{(x_N-0)^2+\(y_N-\frac{a}{2}\)^2=\(\frac{a}{2}\)^2\Leftright x_N^2=y_M(a-y_M)}

On reporte dans l'égalité précédente :

3$ \rm \red \fbox{y_M^2=\frac{a^2y_M(a-y_M)}{x_M^2} \Longleftright y_M=\frac{a^3-ay_M}{x_M^2} \Longleftright y_M\(1+\frac{a}{x_M^2}\)=\frac{a^3}{x_M^2} \Longleftright y_M=\frac{a^3}{x_M^2+a^2}

La courbe correspondant à cette équation est tracée en rouge pointillé sur le graphique ci-dessous et coïncide bien avec le lieu de points représenté en jaune. La fonction est bien paire par symétrie, vaut 3$ \rm a en 3$ \rm O et tend à s'annuler au voisinage de l'infini.

Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée

\blue \clubsuit Supplément \blue \clubsuit

On peut s'amuser à calculer l'aire sous la courbe 3$ \rm I puisque l'on connaît une primitive de 3$ \rm x\to \frac{1}{x^2+a^2} à savoir 3$ \rm x\to \frac{1}{a}\arctan\(\frac{x}{a}\).

Par conséquent 3$ \rm \red \fbox{I=\Bigint_{-\infty}^{+\infty}\frac{a^3}{x^2+a^2}=\[a^2\arctan\(\frac{x}{a}\)\]_{-\infty}^{+\infty} =\pi a^2}

On peut également calculer la courbure au point 3$ \rm A grâce à la formule :

3$ \rm \fbox{C(x)=\frac{|f''(x)|}{(1+f'(x)^{\frac{3}{2}}}}

On trouve pour 3$ \rm x=0 un rayon de courbure de 3$ \rm \blue \fbox{R=\frac{1}{C}=\frac{a}{2}}

On en déduit que le cercle bleu est le cercle de courbure au point 3$ \rm A.

Quant au nom de la courbe en question je n'en ai aucune idée, ça me fait penser à une enveloppe

Merci pour l'énigme fort intéressante !

Posté par
thiblepri
Ma réponse 02-07-08 à 11:23

perduf(x;a)=x/(1+(x/a)^2) est l'équation de la courbe.
Pour le nom....

Posté par
dhalte
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 02-07-08 à 13:55

gagnéBonjour

y=\frac{a^3}{a^2+x^2}

Cubique d'Agnesi , étudiée par Pierre Fermat en 1630.

Posté par
lotfi
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 02-07-08 à 20:52

perdusalut,
bon en utilisant talès(ou bien les cos et les sin dse triangles rectangles) et l'equation d'un cercle je trouve: y=a^5/(x²-a^4).
cordialement;
             Lotfi

Posté par
pisur2
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 03-07-08 à 20:37

gagnéSoit x l'abscisse de P et y l'ordonnée de N
Et M a pour coordonnées (x ; y)
On cherche y = f(x)
La droite pivotante a pour équation aX = xY
Le cercle C a pour équation X² + (Y - a/2)² = a²/4
L'intersection des 2, c'est N de coordonnées :
             (xN = 0 et y = 0) ou (xN = a²x/(a²+x²) et y = a^3/(a²+x²))

On trouve donc y = a^3 /(x²+a²)

Posté par
totti1000
enigme 41 04-07-08 à 18:50

perduje défini les angles w1 et w2 (voir schéma)

on a alors :
sin(w2)=\frac{y-\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}}=\frac{2}{a}.y-1

et
tan(w1)=\frac{a}{x}

la relation entre w1 et w2 est:
\frac{\pi}{2}-w2=2(\frac{\pi}{2}-w1)
 \\ 
 \\ w2=2w1-\frac{\pi}{2}


donc en remplaçant on obtient:
sin(2w1-\frac{\pi}{2})=\frac{2}{a}.y-1
soit


y=\frac{a}{2}(1+sin(2Arctan(\frac{a}{x}-\frac{\pi}{2}))

Cette courbe fait partie des courbes de Gauss

Posté par
PIL
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 04-07-08 à 23:02

gagnéBonsoir,

J'ai trouvé  

3$\rm y = f(x,a) = \frac{a^3}{a^2+x^2}

On pourrait aussi écrire de façon plus homogène :

3$\rm \frac{y}{a} = \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2

J'ignore le nom de cette courbe !

Posté par
evariste
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 05-07-08 à 08:46

gagnéy=a3/(x2+a2)

Posté par
bizbiz
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 05-07-08 à 14:44

gagnéBonjour,  

Je crois que c'est :4$ \red \fbox{ y=\frac{a^3}{x^2+a^2}

cordialement

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 05-07-08 à 19:30

gagné

   à mon avis l'équation de la courbe des points M a pour équation :

f(x,a): y = a^3 /(x² + a²)

par contre aucune idée pour ce qui est du nom !

Posté par
laotze
re: Ma courbe bien-aimée 06-07-08 à 21:08

perduBonsoir:

Personnellement j'aime bien ce genre de problèmes! Bingo!

alors sans être vraiment explicatif, soit une fonction f qui définit la courbe représentée:  pour tout x réel: f(x)=\frac{a^2}{a+x^2}

Bonnes continuation!

Posté par
laotze
re: Ma courbe bien-aimée 06-07-08 à 21:11

perduc'est marrant, la réponse s'affiche...en clair?! vous avez changé la présentation?

Posté par
torio
Ma courbe bien-aimée 07-07-08 à 08:51

gagnéA+
Torio

Ma courbe bien-aimée

Posté par
jver
énigme 41 07-07-08 à 09:27

gagnéy=a^3/(a^2+x^2)

Posté par
1emeu
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 07-07-08 à 11:13

gagnéBonjour,

voici ma réponse :

y=\frac{a^3}{x^2+a^2}

Merci pour l'énigme

1emeu

Posté par
madani
challenge en cours 07-07-08 à 18:14

perduBjr ts le monde
y=a^3/a^2+x^2

Posté par
PloufPlouf06
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 07-07-08 à 18:52

perduBonjour,

La droite D a pour équation : y=mx avec m réel
Le cercle C a pour équation : x^2+y^2-6y=0

Les coordonnées de N sont obtenues par résolution du systéme : \rm {\left {y=mx\\x^2+y^2-6y=0

De même pour le point P avec : \rm {\left {y=mx\\y=a

Soit : \rm N(\frac{6m}{m^2+1} ; \frac{6m^2}{m^2+1}) et P(\frac{a}{m} ; a)

Le point M a donc pour coordonnées : \rm M(\frac{a}{m} ; \frac{6m^2}{m^2+1})

Après quelques essais, on arrive très vite à trouver la relation suivante :
\rm\frac{yx^2}{a^2}+y-6=0

D'où finalement l'équation finale : 5$\red\fbox{y=\frac{6a^2}{x^2+a^2}}

Question subsidiaire : Il me semble qu'une telle courbe est appelée courbe serpentine, mais sans conviction

Voilà, sauf erreur de ma part. Merci pour l'énigme

Posté par
PloufPlouf06
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 07-07-08 à 19:03

perduJ'ai dû faire une bêtise ça colle pas finalement... Tant pis c'est le jeu.

Voilà sinon j'ai adoré cette énigme donc en ce qui me concerne j'approuve le :

Citation :
voici une petite énigme d'un nouveau genre. Si elle a du succès, on pourra en envisager de similaires.


A bientôt

Posté par
PloufPlouf06
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 08-07-08 à 00:47

perduEt voilà, j'aurais dû attendre au lieu d'avoir peur que l'énigme soit clôturée...
Tant pis au moins pour pas être ridicule je mets le résultat pour le fun :

4$\red\fbox{y=\frac{a^3}{x^2+a^2}}

Dommage ...

Posté par
Quent225
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 09-07-08 à 20:04

perduSalut!
Je sais que c'est la sorcière d'Agnesi mais de là à donner son équation... c'est bizard, je connais le nom et pas l'équation!?
Je crois que je vais aller sur wikipédia
A+

Posté par
kioups
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 10-07-08 à 17:09

gagnéLa courbe a pour équation y=\frac{a^3}{x^2+a^2}.

Il s'agit de la Cubique d'Agnesi.

Je dois bien avouer, je l'ai trouvée sur le net. Perso, j'arrivais à la courbe paramétrée mais j'avais du mal à repasser en expression explicite.

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 11-07-08 à 21:21

gagnéBonjour tout le monde,
bon, je me lance, j'essaye d'insérer une image.
celle ci apparait bien en dessous du message mais pas dans l'aperçu.
j'ai seulement défini un point H qui est la projection de N (ou de M) sur l'axe Oy:
OH = y   HN = z   HM = x

je pars de l'équation classique du cercle \rm x^2 + y^2 = R^2 dans un repère ayant pour origine le centre du cercle.

soit R le rayon du cercle avec R = \frac{a}{2}
soit z et y les coordonnées de N
x et y étant les coordonnées de M
dans le repère \vec{Ox},\vec{Oy} l'équation de notre cercle devient \rm z^2 + (y-R)^2 = R^2
d'où je tire \rm z^2 = 2Ry - y^2

d'autre part avec les triangles OAP et OHN (merci Thalès) on a : \frac{AP}{HN} = \frac{OA}{OH}
\Longrightarrow   \rm \frac{x}{z} = \frac{2R}{y}
\Longrightarrow   \rm z = \frac{xy}{2R}
\Longrightarrow   \rm z^2 = \frac{x^2y^2}{4R^2}

j'obtiens donc 2 équations: \(\array{z^2=2Ry-y^2\\z^2=\frac{x^2y^2}{4R^2}}\)
\Longrightarrow \rm 2Ry - y^2 = \frac{x^2y^2}{4R^2}
\Longrightarrow \rm 4R^2\times{(2Ry - y^2)} = x^2y^2
\Longrightarrow \rm 8R^3y - 4R^2y^2 - x^2y^2 = 0
\Longrightarrow \rm 8R^3 - 4R^2y - x^2y = 0
\Longrightarrow \rm 8R^3 - y(4R^2 + x^2) = 0
\Longrightarrow \rm y = \frac{8R^3}{4R^2 + x^2}

en remplaçant R par \frac{a}{2} j'obtiens la formule finale et ma réponse:
   \rm \fbox{y = \frac{a^3}{a^2 + x^2}}

Question subsidiaire:
entre les tractoires, les tractrices, la courbe de l'âne et tout ce qui est en ...oïde j'ai pas trouvé.

Posté par
Nanoo2b
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 13-07-08 à 12:28

gagnéBonjour,
je pense que le point M (x,y) décrit la courbe y= a3 / (x2 + a2)

Posté par
ITMETIC
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 15-07-08 à 13:51

gagnéAppelons l'angle que fait la droite D avec l'axe des abscisses.

L'équation en coordonnées polaires du cercle C est R=a sin(). Les coordonnées de N seront Xn=a sin()cos() et Yn=a sin²()

Les coordonnées de P sont Xp=a/tg() et Yp=a

Les coordonnés de M sont donc Xm=XP=a/tg() et Ym=Yn=a sin²()=a(1-cos(2))/2

Appelons tg()=t , d'après la formule de l'angle moitié on a cos(2)=(1-t²)/(1+t²)

On a ainsi Ym=a(1-(1-t²)/(1+t²))/2=at²/(1+t²)

Or Xm=a/tg()=a/t  d'où t=a/x

En remplaçant on obtient Ym=a3/(a²+x²)


Question subsidiaire

Selon les sources cette courbe s'appelle la cubique (ou la versière) d'Agnesi, les anglais parlent de « Witch of Agnesi », les italiens de « Versiera d'Agnesi » (versiera=diablesse en italien)

Posté par
wiat
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 15-07-08 à 19:05

perduCoucou tout le monde !
Voivi ma réponse: y=(2*a^3)/(a²+x²)

Posté par
kiko21
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 16-07-08 à 10:44

gagnéBonjour,

L'équation de la courbe rouge est 5$ \magenta \fbox{\textrm y=\frac{a}{1+(\frac{x}{a})^2}=\frac{a^3}{a^2+x^2}

Question subsidiaire : On appelle cette courbe sorcière d'Agnesi ou verseau.

Merci et A+, KiKo21.

Posté par
gloubi
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 16-07-08 à 14:11

perduBonjour,

Une courbe de Gauss?   n'importe quoi!

De plus, j'ai oublié le point A: pour x = 0, y = a, of course  

Encore un mois de juillet qui sent le

A+,

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 18-07-08 à 08:40

Cloture de l'énigme

Il s'agissait donc de la "Sorcière d'Agnesi", ce qui expliquait le titre de l'énigme

On peut trouver des infos ici par exemple :

J'ai accepté la réponse de plumemeteore car elle est correcte (un smiley spécial "pourkouafersimplekanonpeufercompliké" )

Par contre, la réponse de totti1000 est fausse : j'ai essayé de tracer sa fonction, et ça ne marche pas.

Et voilà l'image que je n'avais pas osé mettre dans le sujet de l'énigme, cela aurait été un indice trop important.

Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée

Posté par
kiko21
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 18-07-08 à 10:45

gagnéBonjour,

> Jamo

Citation :
voici une petite énigme d'un nouveau genre. Si elle a du succès, on pourra en envisager de similaires.

Alors on pourra... C'était vraiment très intéressant à étudier.
Citation :
Et voilà l'image que je n'avais pas osé mettre dans le sujet de l'énigme, cela aurait été un indice trop important.

Effectivement !!

Encore merci et A+, KiKo21.

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 18-07-08 à 11:10

J'ai déjà une autre courbe sous le coude, ce sera pour bientôt !

Posté par
mikayaou
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 18-07-08 à 11:19

gagnébonjour

>kévin
Dans tes suppléments, tu peux alors chercher à calculer le volume du solide de révolution obtenu en faisant tourner la courbe autour de son asymptote horizontale...

A toi

Posté par
mikayaou
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 18-07-08 à 11:23

gagnéDommage que d'excellents sites dont les liens ont été donnés dans les réponses des participants ( ceux de Serge MEHL ou Robert FERRÉOL ou ... ) référencent toutes ces courbes avec même, pour certaines, le détail d'obtention des équations

Posté par
infophile
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * * 18-07-08 à 13:48

gagnéElle était chouette cette énigme, ça nous apprend des choses

mika > Je déjeune et je regarde ça ^^

1 2 +


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