Bonjour,
voici une petite énigme d'un nouveau genre. Si elle a du succès, on pourra en envisager de similaires.
Même si l'énigme semble très "mathématique", elle ne demande pas de connaissances très évoluées : si on comprend l'énoncé, on doit pouvoir la résoudre.
Dans un repère orthonormal d'origine O, on considère le point A de coordonnées (0;a) avec a>0, le cercle C de diamètre [OA], et la droite horizontale D d'équation y=a.
Pour toute droite non horizontale passant par le point O (en bleu sur le dessin), on définit le point N sur le cercle C et le point P sur la droite D.
On définit ensuite le point M en prenant l'abscisse du point P et l'ordonnée du point N.
Lorsque la droite bleue "tourne" autour du point O, le point M se balade donc sur une courbe, en rouge sur le dessin.
Question : donner l'équation de la courbe rouge. Cette équation doit être donnée sous forme explicite, où y est exprimé en fonction de x et du paramètre a : y=f(x,a). Aucun autre paramètre ne doit donc intervenir.
Bonne recherche !
Question subsidiaire : quel est le nom de cette courbe ?
Soient (t,r) les coordonnées polaires du point N: on a donc r=asint. P a donc pour coordonnées (a/tant, a) et M: (x=a/tant,y=a(sint)^2. et comme (sint)^2/(tant)^2=1-(sint)^2
yx^2/a^2=a-y, donc
y=a^3/(a^2+x^2)
Je pense que c'est une cubique circulaire, mais mes souvenirs sont loin...
bonjour
on arrive à y = a^3/(a²+x²)
qui est la cubique d'Agnesi,( Maria Gaetana Agnesi est une des premières femmes mathématiciennes italienne du 18° )
Elle ressemble à la versiera ou la visiera ou à la conchoïde de Külp
Cependant, cette courbe avait été préalablement étudiée par Fermat
salut Jamo,
Personnellement j'ai adoré cette énigme, j'espère que il y en aura d'autre
Allé pour la peine je me lance dans une demo
N appartient au cerle de centre et et rayon
Donc les coordonnées de N obeissent a :
La droite (D) à pour équation : y = bx or N appartient à (D) et a C
Donc N vérifie :
Car yM = yN
Or P appartient à (D) et à y = a, donc :
On conclut : , donc Car xM = xP
(1) et (2) =>
Donc M décrit la fonction :
Bonjour,
Je trouve ; après une petite recherche, cette courbe s'appelle la cubique d'Agnesi, ou witch of Agnesi en anglais (http://www.mathcurve.com/courbes2d/agnesi/agnesi.shtml)... ce qui explique le titre de l'énigme !
Quelques étapes du calcul :
Soit (x,y) les coordonnées de M, et soit x_N l'abscisse de N.
On a d'abord : .
Et comme N est un point du cercle C, on a : .
Reste à extraire y de l'expression.
BA.
Salut jamo.
L"équation de la courbe rouge est
Quant au nom de la courbe, je n'en sais rien, je vais aller voir sur Wiki...
@+ et merci pour l'énigme!
bonjour jamo
je vais essayer de ne pas me laisser déborder ce mois ci
pour équation de la courbe en rouge je trouve
c'est la cubique (sorcière) de Maria Agnesie
merci et bonnes vacances
Bonjour Jamo, et merci pour cette jolie courbe!
Ayant formé l'équation du cercle, on a sans problème les coordonnées de N en fonction de celles de P. Comme l'abscisse x de M est celle de P et l'ordonnée y de M est celle de N on a immédiatement l'équation de la courbe:
.
Il s'agit de la cubique d'Agnesi (du nom d'une mathématicienne italienne).
Bonjour,
rapido (et bourrin), en passant par les coordonnées de N et P en fonction d'un paramètre b (issu de la droite d'équation y=bx), on a:
N() et P()
D'où M() puis finalement en éliminant le paramètre b, l'équation cartésienne y=.
Merci pour l'exercice !
Re-bonjour jamo,
Les coordonnées des points N et P sont:
Les coordonnées du point M sont donc:
or
L'équation de la courbe est donc:
Pour ce qui est de son nom, je l'appellerais bien "attention où tu mets les pieds, y a une bosse dans le tapis".
Bonjour,
On pose x et y les coordonnées du point M.
Le triangle OAP est rectangle en A, donc OA² + AP² = OP²
Le triangle OAN est rectangle en N, donc ON² + NA² = OA²
Le triangle ANP est rectangle en N, donc AN² + NP² = AP²
On sait aussi que ON + NP = OP soit ON² + NP² + 2.ON.NP = OP²
On a également OA = a et AP = x
donc :
a² + x² = OP²
ON² + NA² = a²
AN² + NP² = x²
soit ON² + 2NA² + NP² = OP²
et comme ON² + NP² + 2.ON.NP = OP²
on peut en déduire que NA² = ON.NP
Si on définit un point H, intersection des droites (OA) et (MN), on a un triangle OHN rectangle en H, avec OH = y
Et si on note l'angle formé par les droites (OA) et (OP), les relations trigonométriques dans les triangles rectangles OAN et OHN nous donnent la relation suivante :
cos = = soit ON² = a.y
Sachant que les droites (MN) et (AP) sont parallèles, le théorème de Thalès nous donne la relation suivante dans le triangle OAP :
= soit = soit y = a
En élevant au carré cette relation, on obtient :
y² = a²
Sachant que ON² = a.y et que OP² = a² + x²
on obtient la relation suivante :
Et pour ce qui est du nom de la courbe... j'espère que la subsidiaire n'est pas éliminatoire
bonjour
soit g l'angle POX
AP = a*cos(g)
les angles OAN et POX ayant les côtés perpendiculaires chacun à chacun sont égaux : ON = a*sin(g)
l'ordonnée de N est ON*sin(g) = a*sin²(g)
pour tout x, g = arccos(x/a)
y = f(x,a) = a * sin²(arccos(x/a))
soit X=AP
f(X,a)=a-PM
on cherche l'ordonnée du point N
=> intersection du cercle et de la droite
cercle: x^2+(y-a/2)^2=(a/2)^2
droite: y=(a/X)x
=> x^2(1+a^2/X^2)-a^2x/X=0 => x(x(1+a^2/X^2)-a^2/X)=0
=> x=0 ou x=(a^2X)/(X^2+a^2)
la deuxieme solution est interessante
elle a pour ordonnée: y=a^3/(x^2+a^2)
Donc f(a,x)=a^3/(x^2+a^2)
Bonjour
salut,
bon en utilisant talès(ou bien les cos et les sin dse triangles rectangles) et l'equation d'un cercle je trouve: y=a^5/(x²-a^4).
cordialement;
Lotfi
Soit x l'abscisse de P et y l'ordonnée de N
Et M a pour coordonnées (x ; y)
On cherche y = f(x)
La droite pivotante a pour équation aX = xY
Le cercle C a pour équation X² + (Y - a/2)² = a²/4
L'intersection des 2, c'est N de coordonnées :
(xN = 0 et y = 0) ou (xN = a²x/(a²+x²) et y = a^3/(a²+x²))
On trouve donc y = a^3 /(x²+a²)
je défini les angles w1 et w2 (voir schéma)
on a alors :
et
la relation entre w1 et w2 est:
donc en remplaçant on obtient:
soit
Cette courbe fait partie des courbes de Gauss
Bonsoir,
J'ai trouvé
On pourrait aussi écrire de façon plus homogène :
J'ignore le nom de cette courbe !
à mon avis l'équation de la courbe des points M a pour équation :
f(x,a): y = a^3 /(x² + a²)
par contre aucune idée pour ce qui est du nom !
Bonsoir:
Personnellement j'aime bien ce genre de problèmes! Bingo!
alors sans être vraiment explicatif, soit une fonction f qui définit la courbe représentée: pour tout x réel:
Bonnes continuation!
Bonjour,
La droite D a pour équation : avec m réel
Le cercle C a pour équation :
Les coordonnées de N sont obtenues par résolution du systéme :
De même pour le point P avec :
Soit :
Le point M a donc pour coordonnées :
Après quelques essais, on arrive très vite à trouver la relation suivante :
D'où finalement l'équation finale :
Question subsidiaire : Il me semble qu'une telle courbe est appelée courbe serpentine, mais sans conviction
Voilà, sauf erreur de ma part. Merci pour l'énigme
J'ai dû faire une bêtise ça colle pas finalement... Tant pis c'est le jeu.
Voilà sinon j'ai adoré cette énigme donc en ce qui me concerne j'approuve le :
Et voilà, j'aurais dû attendre au lieu d'avoir peur que l'énigme soit clôturée...
Tant pis au moins pour pas être ridicule je mets le résultat pour le fun :
Dommage ...
Salut!
Je sais que c'est la sorcière d'Agnesi mais de là à donner son équation... c'est bizard, je connais le nom et pas l'équation!?
Je crois que je vais aller sur wikipédia
A+
La courbe a pour équation .
Il s'agit de la Cubique d'Agnesi.
Je dois bien avouer, je l'ai trouvée sur le net. Perso, j'arrivais à la courbe paramétrée mais j'avais du mal à repasser en expression explicite.
Bonjour tout le monde,
bon, je me lance, j'essaye d'insérer une image.
celle ci apparait bien en dessous du message mais pas dans l'aperçu.
j'ai seulement défini un point H qui est la projection de N (ou de M) sur l'axe Oy:
OH = y HN = z HM = x
je pars de l'équation classique du cercle dans un repère ayant pour origine le centre du cercle.
soit R le rayon du cercle avec
soit z et y les coordonnées de N
x et y étant les coordonnées de M
dans le repère l'équation de notre cercle devient
d'où je tire
d'autre part avec les triangles OAP et OHN (merci Thalès) on a :
j'obtiens donc 2 équations:
en remplaçant R par j'obtiens la formule finale et ma réponse:
Question subsidiaire:
entre les tractoires, les tractrices, la courbe de l'âne et tout ce qui est en ...oïde j'ai pas trouvé.
Appelons l'angle que fait la droite D avec l'axe des abscisses.
L'équation en coordonnées polaires du cercle C est R=a sin(). Les coordonnées de N seront Xn=a sin()cos() et Yn=a sin²()
Les coordonnées de P sont Xp=a/tg() et Yp=a
Les coordonnés de M sont donc Xm=XP=a/tg() et Ym=Yn=a sin²()=a(1-cos(2))/2
Appelons tg()=t , d'après la formule de l'angle moitié on a cos(2)=(1-t²)/(1+t²)
On a ainsi Ym=a(1-(1-t²)/(1+t²))/2=at²/(1+t²)
Or Xm=a/tg()=a/t d'où t=a/x
En remplaçant on obtient Ym=a3/(a²+x²)
Question subsidiaire
Selon les sources cette courbe s'appelle la cubique (ou la versière) d'Agnesi, les anglais parlent de « Witch of Agnesi », les italiens de « Versiera d'Agnesi » (versiera=diablesse en italien)
Bonjour,
L'équation de la courbe rouge est
Question subsidiaire : On appelle cette courbe sorcière d'Agnesi ou verseau.
Merci et A+, KiKo21.
Bonjour,
Une courbe de Gauss? n'importe quoi!
De plus, j'ai oublié le point A: pour x = 0, y = a, of course
Encore un mois de juillet qui sent le
A+,
Cloture de l'énigme
Il s'agissait donc de la "Sorcière d'Agnesi", ce qui expliquait le titre de l'énigme
On peut trouver des infos ici par exemple :
J'ai accepté la réponse de plumemeteore car elle est correcte (un smiley spécial "pourkouafersimplekanonpeufercompliké" )
Par contre, la réponse de totti1000 est fausse : j'ai essayé de tracer sa fonction, et ça ne marche pas.
Et voilà l'image que je n'avais pas osé mettre dans le sujet de l'énigme, cela aurait été un indice trop important.
Bonjour,
> Jamo
bonjour
>kévin
Dans tes suppléments, tu peux alors chercher à calculer le volume du solide de révolution obtenu en faisant tourner la courbe autour de son asymptote horizontale...
A toi
Dommage que d'excellents sites dont les liens ont été donnés dans les réponses des participants ( ceux de Serge MEHL ou Robert FERRÉOL ou ... ) référencent toutes ces courbes avec même, pour certaines, le détail d'obtention des équations
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :