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Enlever le centre pour diviser
Bonjour à tous 
Les collégiens aiment bien la recette qui permet de multiplier un nombre de deux chiffres par 11 en insérant entre ces deux chiffres la somme des deux ( à condition qu'elle soit inférieure à 10 ) . Par exemple 45 X 11 = 495 .
Vu autrement si on supprime le chiffre 9 de 495 on a un multiple de 45 . Plus généralement , quels sont les entiers naturels comportant un nombre impair de chiffres qui sont multiples du nombre obtenu en supprimant le chiffre du milieu ?
Je n'ai pas de réponse complète à la question , j'ai juste regardé le cas des nombres de 3 et 5 chiffres .
Amusez-vous bien
Imod
PS : Le titre n'a bien sûr rien à voir avec l'actualité politique
pour formaliser un peu :
soit n = un entier pair et posons m = n/2 et
le chiffre du milieu de N est
et lorsqu'on le supprime l'entier M est transformé en l'entier
les critères élémentaires de divisibilité permettent de donner les premiers résultats suivants :
si alors c'est trivial
si alors
reste que le cas ... dont tous les critères de divisibilité sont pénibles !!
REM : connaissant les critères simples pour 4 et 8 à vérifier suivant le nombres de chiffres et certainement vrai si M possède au moins 7 chiffres car est multiple de 4 et
est multiple de 8
sinon il faut regarder les cas particuliers
Bonjour,
En 3 chiffres,il y a :
en 5 chiffres de 10000 à 99000 par tranche de 1000
en è chiffres de 1 000 000 à 9990 000 par tranche de 10000
Salut à tous.
Il y a un cas simple : les nombres à 2n+1 chiffres se terminant par n+1 zéros. Par exemple
Finalement seuls les nombres de 3 chiffres présentent un intérêt avec plusieurs cas. Ensuite seul le diviseur 10 apparait.
5--->10000 à 99000 (tranches de 1000 )
7--->1 000 000 à 9 990 000 (tranches de 10000)
9--->tranches de 10^5
11-->tranches de 10^6
n-->tranches de 10^(n+1)/2
Le cas d'un entier à 3 chiffres est assez perturbé mais il semble en effet qu'à partir de 5 chiffres l'ensemble des solutions est donné par le critère donné par Verdurin ( n+1 zéros à la fin d'un entier à 2n+1 chiffres ) .
Après , une conjecture se démontre ou s'invalide
Imod
Soit N = x...xzy...y, N'=x...xy...y, X = x...x et Y = y...y. Avec m le nombre de chiffres de X et de Y.
Note: Ça impose ,
et
.
On veut .
On a et
.
Donc .
Une solution triviale est . En effet, dans ce cas
peut importe
et
Si ,
On a
D'autre part, on a
Donc . Mais
n'a pas de solution entière excepté
. Il n'y as donc pas de solution non triviale pour
.
Il reste donc le cas
Les solutions sont facilement énumérées. On compte 67 solutions non triviales (22 avec k différent de 11).
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