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Ensemble de fonctions

Posté par
yns91
13-08-20 à 12:11

Bonjour l'île,

Voici une énigme :

- Déterminer l'ensemble des fonctions   vérifiant f^{-1}(x)=f'(x).

Indice : il y'a usage d'un nombre spécial

Bonne chance   

Posté par
carpediem
re : Ensemble de fonctions 13-08-20 à 13:37

salut

il y a déjà

 Cliquez pour afficher
et je pense que ce sont les seules ... sans aucune certitude ...

Posté par
Kernelpanic
re : Ensemble de fonctions 13-08-20 à 13:56

Bonjour,

je planche encore sur le problème...

 Cliquez pour afficher

Posté par
carpediem
re : Ensemble de fonctions 13-08-20 à 14:29

oubliez ma réponse ... j'ai dit une con...

Posté par
yns91
re : Ensemble de fonctions 13-08-20 à 15:47

Carpediem Pas grave

Kernelpanic Oui, et j'ai parlé d'un nombre spécial c'est bien le nombre d'or ! Maintenant, quel a été ton raisonnement pour trouver cette solution ?

Posté par
Imod
re : Ensemble de fonctions 13-08-20 à 17:13

Bonjour

La réponse donnée par Kernelpanic est une solution ( définie uniquement sur \mathbb{R}_+^* ) . On la trouve facilement si on la suppose de la forme C.x^a . Il y a peut-être d'autres formes possible mais il me semble difficile de trouver tout le monde .

Imod  

Posté par
Kernelpanic
re : Ensemble de fonctions 14-08-20 à 10:36

Désolé, je n'avais pas vu ta réponse yns91.
Comme l'a dit Imod, j'ai trouvé la solution en prenant une fonction de la forme donnée dans son message (j'ai commencé par tester avec la fonction identité, puis multipliée par une constante, puis je suis passé aux fonctions puissances etc...).

Je crois que ma solution multipliée par -1 est encore une solution (j'ai fait les calculs rapidement, et comme je suis une bille pour poser des calculs... il vaut mieux revérifier) ; donc on a pas (éventuellement ?) unicité. Et je ne vois pas comment montrer l'existence d'autres solutions... ce n'est pas une équation différentielle comme on l'entend, donc tous les théorèmes d'existence et d'unicité ne s'appliquent pas ici...

(pas facile comme problème ! )

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