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on travaillera modulo n

si n divise p+q alors p et q sont opposés (dans Z/nZ)

les opposée de 1,2,...n/2 sont n-1,n-2...n/2 en gros (faut être plus précis avec n impair)

il y a n nombres

n ne divise pas toutes les somme de 2 éléments donc il n'existe pas de couples d'opposés
donc tous les a sont <n/2

en recommençant avec les sommes de 3, 4,...
on démontre que tous les a sont =< 1 donc = 1[n]

donc leur somme est multiple de n

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Oui, c'est une solution, pour éviter de passer dans Z/nZ avec des fraction et tout, j'ai d'abord démontrer que pour tous ensemble S, il existait un sous ensemble de S dont la somme des éléments était divisible par n, comme aucune des sommes a part la somme de tout les éléments de S n'est divisible par n, c'est que cette dernière l'est. Je sais pas si je suis très clair, je ferais une démo propre quand d'autres gens auront répondus.

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si c'est clair mais je suis curieux de voir comment tu fais

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On veut montrer qu'il existe toujours un sous-ensemble de l'ensemble tel que n divise la somme des éléments de ce sous-ensemble.

Considéront .

Si il existe un   tel que , c'est fini
Sinon, considéront les résidus modulo des . On dispose ainsi de résidus que l'on peut disposer parmis "" tiroirs . Il existe donc deux sommes et , qui ont le même résidus.
Il est donc évident que divise .

Notre résultat intermédiaire est démontré, comme ici, aucunes des sommes des parties propres de n'est divisible par , il est évident que est divisible par
CQFD

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soit u_k=
u_k-1etu_k pourk>1 ont des restes différents dans leurs divisions par n sinon a_k seul élément du singleton{a_k}serait divisible par n .....il y a donc n -1 restes distincts  (non nuls)dans les divisions des u_kpar n
la somme S=ne peut pas avoir le même reste qu'un u_k cela impliquerait  qu'une partie propre à n-k éléments ait la somme de ses termes divisible par n
donc comme reste de la division de S par n il n'y a plus que O  et S est divisible par n

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Si j'ai bien compris c'est la même idée que celle dans mon post de 17.00 bravo

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oui c'est la même idée