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Ensemble étoilé convexe

Posté par
Zormuche
10-10-21 à 03:55

Bonjour à tous, voici un problème que j'ai imaginé sans me pencher dessus

Soit  f:[0,2\pi] \rightarrow \R_+  une fonction continue telle que  f(0)=f(2\pi)

On définit l'ensemble  A=\{x\in \C,~\|x\|\le f(\arg(x))\}

Autrement dit,  A  est l'ensemble intérieur délimité par le lacet  (t\in[0,2\pi]\mapsto f(t)e^{it})

Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes sur  f  pour que  A  soit convexe ?

Posté par
Zormuche
re : Ensemble étoilé convexe 10-10-21 à 03:56

\|\cdot\|  est bien sûr le module complexe. Je l'ai écrit comme une norme.

Posté par
Zormuche
re : Ensemble étoilé convexe 10-10-21 à 21:59

Vu que LaTeX est en panne, je le réécris avec les symboles

Soit f : [0,2] + une fonction continue telle que f(0)=f(2)

On définit l'ensemble :  A = { x,  |x|f(arg(x)) }

Autrement dit,  A est l'ensemble intérieur délimité par le lacet  t[0,2] f(t)exp(it)

Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes sur f pour que A soit convexe ?

Posté par
verdurin
re : Ensemble étoilé convexe 12-10-21 à 19:27

Bonsoir,
un essai, en complétant la fonction par périodicité :
si f a un minimum local en t_0 il faut que

\forall h\in]-\pi/2\,;\pi/2[\quad f(t_0+h)\leq \dfrac{f(t_0)}{\cos h}

Je crois que cette condition est suffisante, mais je ne l'ai pas démontré.



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