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Ensemble infini dénombrable
Posté par Edison
Bonjour j'aimerai avoir une explication concernant la cardinalité d'un ensemble. Un ensemble fini est dénombrable or j'ai du mal à comprendre pourquoi on peut parler d'ensembles infinis dénombrables... Si un ensemble est infini on ne peut pas énumérer ses éléments non ?
Par exemple supposons un ensemble E infini équipotent à N. Je ne comprends pas pourquoi dit-on que E est infini dénombrable.
La définition de "dénombrable" est bien plus large ?
Merci beaucoup pour vos explications!
En effet mais j'ai toujours un peu de mal à comprendre, je reprends la définition ;
Citation :
En mathématiques, un ensemble est dit dénombrable, ou infini dénombrable, lorsque ses éléments peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers. Certains ensembles infinis, au contraire, contiennent « trop » d'éléments pour être parcourus complètement par l'infinité des entiers et sont donc dits « non dénombrables ».
En mathématiques, un ensemble est dit dénombrable, ou infini dénombrable, lorsque ses éléments peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers. Certains ensembles infinis, au contraire, contiennent « trop » d'éléments pour être parcourus complètement par l'infinité des entiers et sont donc dits « non dénombrables ».
J'ai justement du mal à comprendre la deuxième phrase et donc à discerner la différence entre un ensemble infini dénombrable et un ensemble infini indénombrable. Quand ils disent "Certains ensembles infinis, au contraire, contiennent trop d'éléments" ils font référence à des ensembles comme R ou C ? Car il est vrai que N est le plus petit des ensembles infinis.
En "gros" peut-on dire ça comme ça ?
Un ensemble est infini dénombrable si cet ensemble est infini et si tous les éléments de cet ensemble sont des entiers
On a donc :
ℕ, ℤ, ℚ qui sont infinis dénombrables
, ℝ, ℂ qui sont infinis indénombrables
C'est juste ?
En fait j'ai du mal à comprendre la frontière entre ce qui est infini dénombrable et ce qui est infini indénombrable...
Si on le dit simplement :
- un ensemble infini dénombrable c'est un ensemble que l'on peut compter (dont on peut numéroter les éléments en utilisant les nombres entiers 1;2;3 .....)
exemple : on montre que 
(les fractions) est dénombrable (en trouvant une bijection entre et 
)
- un ensemble infini non dénombrable et bien c'est quand on y arrive pas.
par exemple 
n'est pas dénombrable.
Après on a essayé de donner quand même une idée sur leur taille relative. On utilise les alephs. alephs-0 c'est le cardinal de , et les suivant on les a appelé alephs-1, alephs-2, etc... notés ℵ0,ℵ₁
ℵ₁ c'est le plus petit des ensembles non dénombrable (par exemple ).
(L'hypothèse du continu de Cantor est que la puissance du continu, le cardinal de l'ensemble des réels, noté 2ℵ₀ égale ℵ₁. mais ça c'est déjà plus abstrait à comprendre)
Citation :
Un ensemble est infini dénombrable si cet ensemble est infini et si tous les éléments de cet ensemble sont des entiers
Un ensemble est infini dénombrable si cet ensemble est infini et si tous les éléments de cet ensemble sont des entiers
Certainement pas. En tout cas, pas que.
D'ailleurs, tu le dis toi même:
Citation :
On a donc :
ℕ, ℤ, ℚ qui sont infinis dénombrables
On a donc :
ℕ, ℤ, ℚ qui sont infinis dénombrables
