Ensemble non dénombrable de "courbes fractales"
post 1/1 (ce post est fini)
Bonjour
Ici un ensemble non dénombrable de "courbes fractales"
on dispose d'une suite infinie dénombrable d'entiers relatifs tous non nuls avec
à partir de cette suite on propose une construction de "courbe fractale" dans l'espace affine euclidien
il résulte donc que l'ensemble de toutes les "courbes" ainsi construites est non dénombrable et de cardinal identique à celui de l'ensemble des réels et donc de cardinal
en effet l'ensemble des nombres irrationnels est de cardinal or à tout irrationnel on peut faire correspondre une suite infinie d'entiers naturels de sa fraction continue
Sommaire
I premier outil pour la construction
II deuxième outil pour la construction
III construction d'une "courbe" à partir d'un entier relatif
IV construction d'une "courbe fractale" à partir d'une suite infinie d'entiers relatifs
1.l'ensemble
2.la relation d'ordre totale x►y
3.l'espace topologique (E, T)
4.l'application
5.la suite
V démonstration de
_______________________________________________________________________________
I premier outil pour la construction:
On se place dans l'espace vectoriel euclidien
Soient deux vecteurs quelconques et de
le produit par un scalaire est noté
l'addition est notée
et le produit scalaire euclidien est noté
la norme d'un vecteur est notée
Soient deux vecteurs et de
ces deux vecteurs tels que
alors on considère une loi de composition notée est un vecteur unitaire défini par l'expression
avec
________________________________________________________________________
II deuxième outil pour la construction:
on considère une application que je note
Soit on pose désigne l'ensemble de tous les arrangements finis de nombres complexes quelconques
par exemple avec et
cette application est telle que alors
avec
et telle que
et telle que aussi dans l'intervalle alors
et enfin telle que selon alors
pour on obtiens et pour alors on obtiens
on propose une solution des arguments on pose
dans l'intervalle
pour cette application et selon les conditions que j'ai donné précédemment
1)pour (donc et ) on propose
c'est d'ailleurs la seule solution possible ici selon les conditions que j'ai donné précédemment
2)proposition de résolution de cette application
pour tout entier naturel non nul donc pour tout
on recherche la solution pour une solution notée selon :
donc m=n+1
on recherche donc une solution pour les arguments
tout d'abord on propose que lorsque n est pair alors pour
puis on considère h et k tels que:
-lorsque n est pair alors et
-lorsque n est impair alors et
résolution des arguments
-lorsque on propose de sorte que :
et
-lorsque on propose de sorte que : et
-lorsque on propose de sorte que : et
-lorsque et n est impair et tel que est pair alors on propose:
on considère u dans l'intervalle [2 , h]
-> pour u est pair on obtiens : de sorte que :
et
-> pour u est impair on obtiens : de sorte que :
et
-lorsque et n est impair et tel que est impair alors on propose:
de sorte que :
et
de sorte que :
et
de sorte que :
et
on considère u dans l'intervalle [5 , h]
-> pour et u est impair on obtiens :
de sorte que :
et
-> pour et u est pair on obtiens :
de sorte que :
et
-lorsque et n est pair et tel que
est pair alors on propose:
on considère u dans l'intervalle [2 , h]
-> pour u est pair on obtiens : de sorte que:
et
-> pour u est impair on obtiens : de sorte que :
et
-lorsque et n est pair et tel que
est impair alors on propose:
de sorte que :
et
de sorte que :
et
de sorte que :
et
on considère u dans l'intervalle [5 , h]
-> pour et u est impair on obtiens :
de sorte que :
et
-> pour et u est pair on obtiens :
de sorte que :
et
résolution des arguments
ayant déterminé tous les arguments
on recherche alors les arguments
selon on determine par la relation
on obtiens de sorte que :
et
3)proposition de résolution de cette application
pour tout entier relatif strictement négatif donc pour tout
on doit d'abord disposer d'une solution de cette application avec |n| celle est donnée en 2)
par conséquent on admet que l'on dispose déjà de la solution notée selon :
donc avec m'=|n|+1
on dispose donc des arguments et on recherche la solution pour une solution notée selon :
donc m=m'=|n|+1
on recherche donc une solution pour les arguments
on propose une solution donnée par l'égalité : avec q = 2 + |n| - p
__________________________________________________________________________________________________
III réalisation d'une "courbe" à partir d'un entier relatif
à partir d'un entier relatif quelconque
on construit une suite finie de segments de droites (D1,D2,...,Dm) telle que la jonction de celles-ci par leur points communs forme une "courbe" dans l'espace affine euclidien
On a précédemment déterminé une suite finie de nombres complexes avec
on considère la suite finie d'entiers naturels non nuls avec désigne le module du nombre complexe
on considère la suite finie de réels avec selon désigne l'argument du nombre complexe
on va utiliser cette suite finie de nombres complexes pour construire une "courbe" dans l'espace affine
cette "courbe" est en fait constituée de m segments de droites
On considère la suite finie de m couples de points
le k ième segment de droite qui forme cette "courbe" est constitué par le couple de points
on pose sinon on pose
et on pose
on verifie
__________________________________________________________________________________________________
IV réalisation de la "courbe fractale" à partir d'une suite infinie d'entiers relatifs
Sommaire
1.l'ensemble
2.la relation d'ordre totale x►y
3.l'espace topologique (E, T)
4.l'application
5.la suite
____________________________________________________________________________________________________
1.l'ensemble [/b]
à présent on dispose d'une suite infinie d'entiers relatifs tous non nuls avec
On obtiens une suite de couples de points
mais aussi une suite de entiers naturels non nuls
de même aussi une suite de de réels
On considère l'ensemble non dénombrable (voir la démonstration plus loin)
des points et qui constituent cette "courbe fractale"
on vérifie
Soit la famille d'éléments de l'ensemble E
c'est à dire une application qui à tout élément de fait correspondre un seul et unique élément de
On définie la suite qui donne l'ensemble des points de la "courbe fractale"
ici les points sont écris sous une forme matricielle
on pose et
_______________________________________________________________________________________________________
2.la relation d'ordre totale x►y
On propose de munir l'ensemble d'une relation d'ordre totale notée ►
ainsi donc telle que:
alors ►
et on a l'équivalence logique:
► AND ►
et on a l'équivalence logique:
► XOR ►
et et on a l'implication logique:
► AND ► ►
Cette relation d'ordre totale est telle que on verifie ► et ►
entre parenthèses ici les connecteurs logiques
P AND Q est une proposition vraie si et seulement si à la fois P et Q sont vrais
P OR Q est une proposition vraie si et seulement si l'une des deux propositions P ou Q est vraie tandis que l'autre est fausse
P <=> Q est une proposition vraie si et seulement si P OR Q est fausse
P => Q est une proposition toujours vraie sauf si P est vraie tandis que Q est fausse
_____________________________________________________________
3.l'espace topologique (E, T)
On definit un espace topologique (E, T) où T est une topologie sur E selon:
Soient trois points distincts , , tels que ►
et soient V et W deux ouverts de (E, T) tels que:
, , , alors on vérifie l'équivalence logique
AND ► AND ►
on considère notations d'intervalles :
Soit a et b dans E
première notation
[a,b] désigne un fermé de (E, T) et on vérifie les sept points suivants
1: ab
2: a et b appartiennent à ce fermé
3: on vérifie a►b
4: quelque soit x appartiens à ce fermé on vérifie: a►x et x►b
5: il n'existe pas x dans [a,b] tel que xa et tel que x►a
6: il n'existe pas x dans [a,b] tel que xb et tel que b►x
7: l'adhérence de [a,b] c'est lui même
deuxième notation
[a,b[ désigne un ouvert de (E, T) on vérifie les huit points suivants
1: ab
2: a appartiens à cet ouvert tandis que b n'appartiens pas à cet ouvert
3: on vérifie a►b
4: [a,b[[a,b] le complémentaire de la partie [a,b[ dans le fermé [a,b] est le singleton b
5: quelque soit x appartiens à [a,b[ on vérifie: a►x et x►b
6: il n'existe pas x dans [a,b[ tel que xa et tel que x►a
7: quelque soit u dans [a,b[ alors: il existe x dans [a,b[ tel que u►x
8: l'adhérence de [a,b[ est le fermé [a,b]
troisième notation
]a,b] désigne un ouvert de (E, T) on vérifie les huit points suivants
1: ab
2: a n'appartiens pas à cet ouvert tandis que b appartiens à cet ouvert
3: on vérifie a►b
4: ]a,b][a,b] le complémentaire de la partie ]a,b] dans le fermé [a,b] est le singleton a
5: quelque soit x appartiens à ]a,b] on vérifie: a►x et x►b
6: il n'existe pas x dans ]a,b] tel que xb et tel que b►x
7: quelque soit u dans ]a,b] alors: il existe x dans ]a,b] tel que x►u
8: l'adhérence de ]a,b] est le fermé [a,b]
quatrième notation
]a,b[ désigne un ouvert de (E, T) et on vérifie les huit points suivants
1: ab
2: a et b n'appartiennent pas à cet ouvert
3: on vérifie a►b
4: ]a,b[[a,b] le complémentaire de la partie ]a,b[ dans le fermé [a,b] est l'ensemble a,b
5: quelque soit x appartiens à ]a,b[ on vérifie: a►x et x►b
6: quelque soit u dans ]a,b[ alors: il existe x dans ]a,b[ tel que x►u
7: quelque soit u dans ]a,b[ alors: il existe x dans ]a,b[ tel que u►x
8: l'adhérence de ]a,b[ est le fermé [a,b]
_________________________________________________________________________________________
4.l'application
On considère l'ensemble H des suites infinie d'entiers naturels
pour convention d'écriture:
on admettra que si
on verifie alors on posera
et on admettra que si
tel que et que pour on verifie
alors on posera
construction de l'application:
on propose la convention de notation: pour alors désigne la partie entière de
on pose et
pour on pose
on recherche tel que:
lorsque on pose
sinon on pose et
lorsque alors
lorsque alors
et
lorsque alors
lorsque alors
...
et
lorsque alors
lorsque alors
...
avec la fonction
on pose et pour alors
_________________________________________________________________________________________
5.la suite
il s'agit ici de définir les points qui constituent cette "courbe fractale"
la topologie de cette "courbe" est définie par la relation d'ordre totale notée ► qui structure l'ensemble alors:
et
1.-lorsque on vérifie et ►
2.-lorsque on considère et
2.1-lorsque on vérifie ►
2.2-lorsque on vérifie ►
2.3-lorsque alors tel que
et tel que aussi et on vérifie
2.3.1-lorsque on vérifie ►
2.3.2-lorsque on vérifie ►
__________________________________
à présent il ne reste plus qu'à définir la suite
comme on l'a dit précédemment les points sont écris sous une forme matricielle
on pose et
par ailleurs et comme on l'a dit précédemment aussi,
à partir d'une suite infinie d'entiers relatifs tous non nuls avec
On a construit une suite de couples de points
on transforme cette suite par la suite de points
en posant et pour on pose
par ailleurs on pose
__________________________________
construction de la "courbe fractale" à partir d'une infinité de points avec
par ailleurs on dispose d'une suite de entiers naturels non nuls on vérifie
à présent que les points et ayants déjà étés déterminés
on incrémente à partir de
pour on obtiens
pour on détermine on vérifie
_________________________________
triangle d'échelle
à tout point on fait correspondre un triplet de points X,Y,Z formants toujours un triangle
on pose et correspond au point X
-lorsque tel que on a alors on pose
-lorsque alors on pose
-lorsque on pose:
et correspond au point Y
et correspond au point Z
dans tous les autres cas pour le point Y on recherche u tel que et tel que
avec on vérifie on pose et correspond au point Y
dans tous les autres cas pour le point Z on recherche u tel que et tel que
avec on vérifie on pose et correspond au point Z
_________________________________
matrice d'échelle
on construit la matrice
où l'on considère les deux vecteurs formants cette matrice
et
pour cette construction on dispose du triangle d'échelle formé par les trois points X,Y,Z
on pose
par ailleurs posons
on vérifie toujours
ici on va utiliser le premier outil que l'on a présenté : la loi de composition notée *
-lorsque on pose
-lorsque on pose
___________________________________
la matrice B est toujours inversible on note est un repère de l'espace affine euclidien
la position du point par rapport au repère est donnée par la position du point
________________________________________________________________________
démonstration de :
L'ensemble E est constitué des points et ce sont ces points qui definissent la "courbe fractale"
ces points sont déterminés par une suite infinie d'entiers relatifs tous non nuls
considérant l'ensemble dénombrable on vérifie
par cette suite infinie d'entiers relatifs tous non nuls on obtiens une suite d'entiers naturels supérieurs ou égal à 2 donc
la suite telle qu'elle est construite est telle que l'on peut définir une application
qui pour toute quantité fait correspondre une partie A de E et telle que l'ensemble de toutes ces parties forment une partition de E
pour on obtiens
pour on obtiens
pour on obtiens
...
pour on obtiens
on obtiens par conséquent
avec
une faute d'inattention relevée (je n'en vois pas d'autres...)
je voulais dire:
P XOR Q est une proposition vraie si et seulement si l'une des deux propositions P ou Q est vraie tandis que l'autre est fausse
bonjour
Je relève ici plusieurs fautes (désolé) et ici donnés en corrigés
faute n°2 (pour la faute N°1 voir le corrigé du post précédent)
là j'avais dit entiers naturels au lieu de dire rationnels positifs et non nuls
Bonsoir amethyste.
Je n'ai pas lu tout ton message
Mais je ne vois pas vraiment l'intérêt de montrer qu'il y a un nombre non dénombrable de courbes fractales dans .
A priori on peut estimer leur nombre à .
Bonsoir Verdurin
...et exact! Verdurin ce que tu dit vu comme ça ->
mais là je parle de celles que je construis ici et dont je vous file le "kit montage comme pour un meuble Ikea"
(pas de courbes fractales en général)
je suis pas obligé de me croire sur parole pour celles que je construit là (je parle pas des autres mais de celles là )
sinon à Dpi -mais en restant sur ce fil- bon eh bien j'aime les maths et je poste ce que je fais ... mais pourquoi?
pourquoi faut-il qu'il y ait toujours et obligatoirement un intérêt pour faire des maths?
je suis pas marié mais si je serai marié je dirais pas : pourquoi j'aime ma femme?
je peux pas dire eh bien en fait c'est pour elle!
beh là c'est pareil je peux pas dire que c'est pour les maths...elles se foutront de moi là et elles auront raison!
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :