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Ensembles et images directes (et réciproques).

Posté par
Yona07 21-10-21 à 22:41

Bonjour!

Soit X et Y deux ensembles. Soit f: X Y une application. Soient (A_i)_{i\in I} une famille de partie de X et (B_j)_{j\in J} une famille de parties de Y. On suppose I et J non vides. Soit A une partie de X et B une partie de Y. Démontrer les assertions suivantes:

a) f(\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})=\bigcup_{i\in I}^{}{f(A_i)} et f(\bigcap_{i\in I}^{}{A_i})\subseteq \bigcap_{i\in I}^{}{f(A_i)}, avec égalité quand f est injective.

b) f^{-1}(\bigcap_{j\in J}^{}{B_j})=\bigcap_{j\in J}^{}{f^{-1}(B_j)} et f^{-1}(\bigcup_{j\in J}^{}{B_j})=\bigcup_{j\in J}^{}{f^{-1}(B_j).

c). ^{c}(f^{-1}(B))=f^{-1}(^{c}B). Quelles inclusions y a-t-il entre ^{c}(f(A)) et f(^{c}A)?

Je vais envoyer ce que j'ai fait dans le message suivant.
Merci d'avance.

Posté par
Yona07re : Ensembles et images directes (et réciproques). 21-10-21 à 23:19

Concernant a) :

\text{On a: }A_1\subseteq \bigcup_{i\in I}^{}{A_i}\\ \text{Donc: } f(A_1)\subseteq f(\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\\ \text{Et: } A_2\subseteq \bigcup_{i\in I}^{}{A_i}\\ \text{Donc: } f(A_2)\subseteq f(\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\\ .\\.\\.\\ \text{De proche en proche: } A_n\subseteq \bigcup_{i\in I}^{}{A_i}\\ \text{Donc: } f(A_n)\subseteq f( \bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\\ \text{Alors: } f(A_1)\cup{f(A_2)\cup...\cup{f(A_n)}}\subseteq f( \bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\\ \text{c-à-d: } \bigcup_{i\in I}^{}{f(A_i)}\subseteq f( \bigcup_{i\in I}^{}{A_i})

\text{Soit y}\in \bigcup_{i\in I}^{}{f(A_i)}\\ \text{Alors: } \begin{cases} y\in f(A_1) \\ \text{ou}\\ y\in f(A_2)\\ \text{ou}\\ .\\.\\. \\ \text{ou}\\y\in f(A_n ) \end{cases}\\ \text{On pose } x=f^{-1}(y)\\ \text{Par la suite on a:} \\\begin{cases} x\in A_1\\\text{ou} \\ x\in A_2\\\text{ou}\\ .\\.\\. \\\text{ou}\\x\in A_n \end{cases}\\ \text{Donc: } x\in\bigcup_{i\in I}^{}{A_i}\\ \text{Par la suite:} f(x)=y\in f(\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\\\text{d'où: } \bigcup_{i\in I}^{}{f(A_i)}\subseteq f(\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})

Posté par
Yona07re : Ensembles et images directes (et réciproques). 21-10-21 à 23:26

\text{On a: } \bigcap_{i\in I}^{}{A_i}\subseteq A_1\text{ donc: }f(\bigcap_{i\in I}^{}{A_i})\subseteq f(A_1)\\\text{ et : }\bigcap_{i\in I}^{}{A_i}\subseteq A_2\text{ donc: }f(\bigcap_{i\in I}^{}{A_i})\subseteq f(A_2)\\\text{ et :}\\.\\.\\ \text{(de proche en proche)}\\\text{ et : }\bigcap_{i\in I}^{}{A_i}\subseteq A_n\text{ donc: }f(\bigcap_{i\in I}^{}{A_i})\subseteq f(A_n)\\\text{Ainsi: } \text{ donc: }f(\bigcap_{i\in I}^{}{A_i})\subseteq \bigcap_{i\in I}^{}{f(A_i)}

Posté par
Yona07re : Ensembles et images directes (et réciproques). 21-10-21 à 23:41

\text{Supposons que f est injective. Soit }y \in \bigcap_{i\in I}^{}{f(A_i)}. \\\text{Donc: }y \in f(A_1)\\\text{et: } y \in f(A_2)\\\text{et: }\\.\\. \\\text{et: }y \in f(A_n)\\\text{Alors il existe }x_1\in A_1 \text{ tel que} f(x_1)=y \\\text{et il existe }x_2\in A_2\text{ tel que } f(x_2)=y \\\text{et }\\.\\. \\\text{et il existe }x_n\in A_n\text{ tel que } f(x_n)=y \\ f(x_1)=f(x_2)=...=f(x_n)=y\Rightarrow x_1=x_2=...=x_n=x \text{ car f est injective}\\\text{Ainsi, il existe }x\in \bigcap_{i\in I}^{}{A_i}\text{ tel que} f(x)=y, \text{ et alors: } y\in f(\bigcap_{i\in I}^{}{A_i})\\\text{ d'où: } \bigcap_{i\in I}^{}{f(A_i)}\subseteq f(\bigcap_{i\in I}^{}{A_i})

Posté par
jsvdbre : Ensembles et images directes (et réciproques). 22-10-21 à 10:07

Bonjour Yona07.
Concernant a), c'est bien ça !
Juste, on peut alléger la rédaction avec la connaissance des quantificateurs :

Donc petit rappel :

x\in \bigcup_{i\in I} A_i est identique à \exists i \in I \textbf{ et } x \in A_i : il existe un i dans I tel que x soit dans Ai ou encore : x est dans l'un des Ai

x\in \bigcap_{i\in I} A_i est identique à \forall i \in I,~x \in A_i : pour tout i dans I, x dans Ai, ou encore x est un élément commun à tous les Ai

Ainsi :

On pose A = \bigcup_{i\in I} A_i pour alléger encore les notations.

Si A est vide, alors tous les Ai sont vide et la relation demandée est évidente.

Sinon, si A n'est pas vide :

\forall i, A_i \subset A donc \forall i, f(A_i) \subset f(A) et donc par la rappel ci-dessus \bigcup_{i\in I} f(A_i) \subset f(A)

Réciproquement :

y \in f(A) signifie qu'il existe un x \in A tel que f(x) = y.
Par définition de A, cela signifie qu'il existe i\in I, tel que x \in A_i
Ainsi, il existe i\in I tel que y=f(x) \in f(A_i).
Par le rappel ci-desus, on a donc f(A) \subset \bigcup_{i\in I} f(A_i)

finalement \large \blue \boxed {\bigcup_{i\in I} f(A_i) = f(A)=f\left(\bigcup_{i\in I} A_i \right)}

Posté par
jsvdbre : Ensembles et images directes (et réciproques). 22-10-21 à 10:29

Posons B = \bigcap_{i\in I} A_i et montrons f(B) \subset \bigcap_{i\in I} f(A_i).

Si B est vide, alors l'inclusion demandée est une évidence.

Sinon, f(B) n'est pas vide et donc, soit y \in f(B).
Il existe donc x \in B tel que f(x) = y et par suite, x est dans tous les A_i.
Il s'ensuit que y (= f(x)) est dans tous les f(A_i) et par le rappel, on a l'égalité demandée.

Réciproquement, quand f est injective.

Si \bigcap_{i\in I} f(A_i) = \emptyset, alors l'inclusion demandée est une évidence.

\text{Sinon, soit }{\blue y \in \bigcap_{i\in I} f(A_i)} : y \text{ se trouve donc dans tous les }f(A_i).

En particulier, pour un i_0 \in I, y\in f(A_{i_0}) et donc il existe x_0 \in A_{i_0} tel que f(x_0) = y.

Par injectivité de f, x_0 est le seul élément de X qui vérifie f(x_0) = y donc pour tout i, x_0 \in A_i et par suite x_0\in B et \blue y=f(x_0) \in f(B)

D'où la conclusion \large \blue \boxed {\bigcap_{i\in I} f(A_i)\subset f(B)=f\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)}

Posté par
jsvdbre : Ensembles et images directes (et réciproques). 22-10-21 à 11:41

Pour la c) : Quelles inclusions y a-t-il entre f(A)^c et f(A^c) ?

On peut écrire que X = A \cup A^c et donc d'après a), on a f(X) = f(A) \cup f(A^c).
Par ailleurs Y = f(A) \cup f(A)^c

Ici, on est confronté à deux problèmes :
- est-ce que f(X) = Y ? autrement dit, f est-elle surjective ?
- est-ce-que f(A) \cap f(A^c) = \emptyset Autrement dit, f est-elle injective ?

Quand f est injective mais pas surjective
dans ce cas f(A) et f(A^c) forment une partition de f(X) et on peut dire donc que f(A^c) = f(A)^c, mais dans f(X) et pas dans Y donc \red \boxed {f(A^c) \subset f(A)^c} dans Y.

Quand f est surjective mais pas injective
Y = f(A) \cup f(A^c) et cette égalité est un recouvrement de Y
Y = f(A) \cup f(A)^c et cette égalité est une partition de Y donc \blue \boxed {f(A)^c \subset f(A^c)}

Si maintenant f est bijective, on a \green \boxed {f(A^c) = f(A)^c}.

Contre-exemple si f n'est ni injective ni surjective : (c'est le plus petit exemple possible)

f : {1,2} -> {1,2} avec f(1) = f(2) = 1 et A = {1}

f(A) = {1}

f(Ac) = {1}

f(A)c = {2}

il n'y a aucune inclusion entre f(Ac) et f(A)c

Posté par
Yona07re : Ensembles et images directes (et réciproques). 22-10-21 à 20:45

Bonjour jsvdb!
Merci infiniment pour l'explication hyperdétaillée! ^_^

Concernant a), c'est compris!
Concernant b), j'ai procédé presque par la même méthode que dans a).

Pour c): Evidemment. J'ai rencontré cette question dans un exo auparavant où il fallait démontrer l'équivalence entre le caractère bijectif d'une application et l'égalité entre l'image du complémentaire et le complémentaire de l'image. Concernant la réciproque, j'ai fait comme suit:

\text{Je note } ^c(f^{-1}(B))=\bar{f^{-1}(B)} \text{ et } ^(f^{-1}(^cB))=f^{-1}(\bar{B})\\ \text{Soit } x \in \bar{f^{-1}(B)}.\\\text{Alors: }x\in X \text{ et } x \: \bar{ \in } \:f^{-1}(B)\\\text{Ceci implique que, pour tout } y\in B, f(x)\neq y, \text{ donc, il existe } y^{'} \in \bar{B} \text{ tel que }f(x)=y^'\\\text{Donc: } f(x)\in \bar{B},\text{ d'où: } x\in f^{-1}(\bar{B}) \\\text{Ainsi: } \bar{f^{-1}(B)}\subseteq f^{-1}(\bar{B})

Réciproquement:

\\ \text{Soit } x \in f^{-1}(\bar{B}).\\\text{Alors, il existe } y\in \bar{B} \text{ tel que }f(x)=y\\\text{Supposons que: } x\in f^{-1}(B), \text{ alors, il existe }z\in B\text{ tel que: }f(x)=z\\\text{Donc: } f(x)=y=z \text{ néanmoins: } y\:\bar{\in } \: B \text{ et }z\in B \text{ (absurde)}\\\text{Alors: } x\:\bar{\in } \:f^{-1}(B)\text{ c-à-d: } x\in \bar{f^{-1}(B)}\\\text{D'où: } f^{-1}(\bar{B})\subseteq \bar{f^{-1}(B)}

\bar{\in } signifie .
?

Posté par
Yona07re : Ensembles et images directes (et réciproques). 22-10-21 à 20:46

Yona07 @ 22-10-2021 à 20:45

Concernant l'image réciproque, j'ai fait comme suit..

Posté par
Yona07re : Ensembles et images directes (et réciproques). 22-10-21 à 21:52

Concernant b), je vais écrire ce que j'ai fait pour que vous le vérifiiez juste pour m'assurer..

\text{On montre que }f^{-1}(\bigcap_{j\in J}^{}{B_j})=\bigcap_{j\in J}^{}{f^{-1}(B_j)}\\ \text{On pose: } B=\bigcap_{j\in J}^{}{B_j}\\ \text{Pour tout j de J, } B\subseteq B_j\\ \text{Ainsi, pour tout j de J, } f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(B_j)\\\text{c-à-d: }f^{-1}(B)\subseteq \bigcap_{j\in J}^{}{f^{-1}(B_j)} (*)\\ \\ \text{On pose: } F=\bigcap_{j\in J}^{}{f^{-1}(B_j)}\\ \text{Soit }x\in F \text{ alors x est un élément dans tous les }f^{-1}(B_j)\\\text{Alors }f(x) \text{ appartient à tous les }B_j \text{ c-à-d, } f(x)\in B\\\text{Ainsi, } x\in f^{-1}(B)\\\text{D'où: } F=\bigcap_{j\in J}^{}{f^{-1}(B_j)}\subseteq f^{-1}(B)=f^{-1}(\bigcap_{j\in J}^{}{B_j})

Posté par
Yona07re : Ensembles et images directes (et réciproques). 22-10-21 à 21:57

Yona07 @ 22-10-2021 à 21:52



[tex] \text{Soit }x\in F \text{ alors x est un élément dans tous les }f^{-1}(B_j)\\\text{Alors }f(x) \text{ appartient à tous les }B_j \text{ c-à-d, } f(x)\in B


Je dois justifier ce passage ou non??

Posté par
Yona07re : Ensembles et images directes (et réciproques). 22-10-21 à 22:16

En ce qui concerne la réunion:

\text{On montre que }f^{-1}(\bigcup_{j\in J}^{}{B_j})=\bigcup_{j\in J}^{}{f^{-1}(B_j)}\\ \text{On pose: } B=\bigcup_{j\in J}^{}{B_j}\\ \text{Pour tout j de J, } B_j \subseteq B \\ \text{Ainsi, pour tout j de J, } f^{-1}(B_j)\subseteq f^{-1}(B)\\\text{c-à-d: }\bigcup_{j\in J}^{}{f^{-1}(B_j)}\subseteq f^{-1}(B)(*)\\ \\ \text{On pose: } F=f^{-1}(\bigcup_{j\in J}^{}{B_j})\\ \text{Soit }x\in F \\\text{Alors, }f(x) \in\bigcup_{j\in J}^{}{ B_j} \text{ c-à-d, il existe j de J tel que } f(x)\in B_j\\\text{Ainsi, il existe j de J tel que } x\in f^{-1}(B_j)\\\text{Alors } x\in \bigcup_{j\in J}^{}{f^{-1}(B_j)}

Posté par
jsvdbre : Ensembles et images directes (et réciproques). 25-10-21 à 22:58

Yona07 @ 22-10-2021 à 21:57

Yona07 @ 22-10-2021 à 21:52



[tex] \text{Soit }x\in F \text{ alors x est un élément dans tous les }f^{-1}(B_j)\\\text{Alors }f(x) \text{ appartient à tous les }B_j \text{ c-à-d, } f(x)\in B


Je dois justifier ce passage ou non??

non non, les notations sont parfaitement claires, la rédaction également; il n'y a rien à ajouter


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