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Niveau terminale
Ensembles linéairement récurrents
Posté par posso49
Bonjour,
Je poste deux exercices similaires tirés de Lebossé Hémery :
A) L'ensemble ordonné E={} est dit solution de la relation de récurrence
(1) si ses termes consécutifs vérifient cette relation quel que soit k=0, 1, ... , n-2.
1° Déterminer pour
et n=8.
2° Pour que E={} soit solution de (1), il faut et il suffit que r²-5r+6=0. On trouve r=2 et r=3. Montrer que, quels que soient A et B, l'ensemble E(2,3)={
} est solution de (1). Déterminer A et B pour obtenir
. En déduire que E(2,3) est la solution la plus générale de (1).
3° En utilisant l'identité , calculer la somme S des n+1 termes de E(2,3).
4° Vérifier en établissant que
B) L'ensemble ordonné E={} est solution de la relation de récurrence
(1).
1° Déterminer pour
et n=6.
2° Montrer que, quels que soient A et B, l'ensemble E(3,3)={} est solution de (1). Déterminer A et B pour obtenir
. En déduire que E(3,3) est la solution la plus générale de (1).
3° En utilisant les identités et
, calculer la somme S des n+1 termes de E(3,3).
4° Vérifier en établissant que
J'ai résolu la plupart des questions, hormis les questions suivantes, pour lesquelles je cherche de l'aide :
Pourquoi E(2,3) ou E(3,3) sont les solutions les plus générales.
Les questions 4).
Merci.
Bonjour,
Je ne dirais pas "les solutions les plus générales" mais simplement "les solutions générales".
Pour l'affirmer, il faut avoir démontré ceci :
Une suite (ak) vérifie (1) si et seulement si il existe A et B réels tels que ak = A
2k + B3k.
Bonjour,
Montrez que tout élément d'un ensemble ordonné vérifiant (1) s'écrit de la forme A*2^k+B*3^k. Raisonnez de manière analogue pour E(3,3). Il s'agit en fait de montrer que E(2,3) et E(3,3) correspondent à l'ensemble des solutions de (1).
On montre en d'autres termes que (2,3) est une famille génératrice de l'espace vectoriel des solutions
Pour les questions 4), on connait l'expression de a_n et a_{n-1} donc il suffit d'isoler S pour obtenir le résultat des questions précédentes d'une autre façon 
Le 4)de B) est faux.
Les coefficients ne sont pas 1, -5 et 6 mais 1, -6 et 9.
Écrire les égalités (1) les une en dessous de autres pour k = 0, k=1, ..., k = n-2.
Les ajouter membre à membre.
Ma question que vous avez reformulée, je vous en remercie, est de savoir comment on établit les expressions de E(2,3) et E(3,3) ce qui montrerait que ce sont les solutions (les plus) générales.
En fait, peut se démontrer dans les cas particuliers de l'exercice.
Dans A) :
Il est facile de justifier que toute suite de la forme A2k + B3k convient.
Pour la réciproque, résoudre le système
A20 + B30 = a0
A21 + B31 = a1
pour exprimer A et B en fonction de a0 et b0.
Puis justifier qu'avec bk = A2k + B3k les deux suites (ak) et (bk) sont confondues.