Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Entier pair et impair
Bonsoir,
On définit deux nombres A et B définis par
A=an-1 et B=an+1 avec a un entier impair et n un entier naturel
a) On suppose que n est impair. Quels sont les diviseurs communs positifs de A et B ?
b) On suppose maintenant que n est pair. Trouver les diviseurs communs positifs de A et B
Pourriez vous m'aider ? Je ne sais pas par quoi commencer..
Bonjour,
commence par prendre des exemples
a) a=3 et n=7
b) a=3 et n=8
puis ensuite tu généralises
avec pour a)
a=2k+1 , k
n=2k'+1, , k'
pour b)
a=2k+1 , k
n=2k' ,k'
Si je prends votre exemple on a :
a) A=3*7-1 B= 3*7+1
= 20 =22
Si d/A et d/B alors d/20+22 = d/44
les diviseurs communs de 44 sont 1,2,4,11,22,44
b) A=3*8-1 B=3*8+1
=23 =25
Si d/A et d/B alors d/48
les diviseurs communs de 48 sont 1,2,4,6,8,12,48
Concernant le cas général :
a) A= (2k+1)(2k'+1)-1 B=(2k+1)(2k'+1)+1
= 4kk'+2k+2k'+1-1 = 4kk'+2k+2k'+1+1
= 4kk'+2k+2k' = 4kk'+2k+2k'+2
Si d/A et d/B
alors d/4kk'+2k+2k' - (4kk'+2k+2k'+2)
d/-2
les diviseurs positifs de -2 sont 1 et 2
b)A=(2k+1)(2k')-1 B=(2k+1)(2k')+1
=4kk'+2k'-1 =4kk'+2k'+1
Si d/A et d/B
alors d/4kk'+2k'-1 -(4kk'+2k'+1 )
d/-2
les diviseurs positifs de -2 sont 1 et 2
est-ce bon ?
erreurs pour les diviseurs ce sont les diviseurs communs aux deux nombres :
diviseurs de 20 =1;2;4 ;5;10 et 20
diviseurs de 22 =1;2;11 et 22
ou
si d|22 et si d|20 alors d|(22-20) d|2
diviseurs communs aux deux nombres sont 1 et 2
pour le cas général OK
salut
pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ...
évidemment (et comme tu le fais) il faut utiliser la propriété fondamentale en arithmétique :
si d divise a et b alors d divise toute combinaison linéaire de a et b
A = an + 1 et B = an - 1
si d divise A et B alors trivialement d divise A - B = 2
et tu n'as pas répondu aux questions posées !!!
Concernant le cas général :
a) A= (2k+1)(2k'+1)-1 B=(2k+1)(2k'+1)+1
= 4kk'+2k+2k'+1-1 = 4kk'+2k+2k'+1+1
= 4kk'+2k+2k' = 4kk'+2k+2k'+2
Si d/A et d/B
alors d/4kk'+2k+2k' - (4kk'+2k+2k'+2)
d/-2
les diviseurs positifs de -2 sont 1 et 2
b)A=(2k+1)(2k')-1 B=(2k+1)(2k')+1
=4kk'+2k'-1 =4kk'+2k'+1
Si d/A et d/B
alors d/4kk'+2k'-1 -(4kk'+2k'+1 )
d/-2
les diviseurs positifs de -2 sont 1 et 2
ce qui est en rouge est trivialement vrai ... mais je ne vois pas la réponse aux questions posées :: quels sont les diviseurs positifs communs à A et à B ?
...
les diviseurs communs positifs de A et B quand n est impair sont les entiers pairs ?
et les diviseurs communs positifs de A et B quand n est pair sont les entiers impairs ?
mais un peu de sérieux !!!
tu as prouvé que les diviseurs éventuels de A et B sont ... ?
le sont-ils effectivement ?
bon alors maintenant réfléchis :
A = an + 1 et B = an - 1 et a est impair et d divise A et B => d {1, 2}
a/ n est impair
b/ n est pair
dans chaque cas que peut-on dire de A et B ?
a) n est impair
donc A est pair de même pour B
Pour d=1 : d/A et d/B
Pour d=2 : d/A et d/B
b) n est pair
Donc A est impair de même pour B
pour d=1 : d/A et d/B
Mais pour d=2 d ne divise pas A et B puisqu'ils sont impairs
et bien voila ...
dans le cas n pair les diviseurs éventuels ne sont pas tous des diviseurs effectifs de A et B
Annuler
connectez vous
Le site a rencontré un problème temporaire.
Merci de retenter l'opération plus tard
