Bonjour

x²dy/dx=y(y-1)

les fonctions y=0 et y=1 sont valides

dy/(y(y-1) = dx/x² avec y<>0 et y<>1

or 1/y(y-1) = 1/(y-1) - 1/y

(1/(y-1) - 1/y)dy = dx/x²

en intégrant

ln|y-1|-ln|y| = -1/x + K

ln|(y-1)/y| = -1/x + K

(y-1)/y = kexp(-1/x)

1-1/y= kexp(-1/x)

y = 1/( 1-kexp(-1/x) ) en rajoutant la solution y=0

A vérifier (je n'en suis pas sûr à 100%... )

Philoux

Ok.
merci.

Pour mon niveau, ça se tient.

Ok derby

ce qui m'interpellait, c'est le fait que la solution y=0 ne soit pas "obtenable" par y = 1/( 1-kexp(-1/x) ), à moins de prendre k infini.

C'est en celà que je demandais confirmation sur la bonne résolution à suivre : la formulation de mon post ne me satisfait pas complètement...

Philoux

Bonjour,
Le calcul des solutions de Philou est juste cependant il faut être rigoureux avec la résolution des équa diff.
En effet, tu dois résoudre cette équa diff sur un intervalle I1 inclus dans ]0;+inf[ puis sur un intervalle I2 inclus dans ]-inf;0[ (d'ailleurs la constante d'intégration ne sera pas forcément la même) où tu supposes que la fonction y ne s'annule pas et ne vaut pas 1.
Lorsque tu as trouvé les solutions, tu peux ensuite regarder si elles concordent en 0 par exemple.
Pour cela il faut étudier les limites à gauche et à droite en O. Mais ici ce n'est pas le cas.

Merci Togo

j'avais vu ce type de restriction

peux-tu développer pourquoi est-on obligé de dissocier ces 2 cas ?

les valeurs absolues des ln ?

merci pour ta réponse

Philoux

J'ai calculé l'ensemble de définition de la fonction yk = 1/(1-kexp(-1/x)) selon les valeurs de k
- si k< ou = 0 alors  ensemble de définition de yk = Dyk = ]-inf;0[ union ]0;+inf[
- si 0<k<1 alors Dyk = ]-inf;1/ln(k)[ union ]1/ln(k);0[ union ]0;+inf[
- si k = 1 alors Dyk = ]- inf;0[ union ]0;+ inf[
- si k > 1 alors Dyk = ]-inf;0[ union ]0;1/ln(k)[ union ]1/ln(k); + inf[

Ok pour Df

La question était pour l'existence des valeurs différentes des constantes d'intégration selon l'intervalle R- ou R+

Pourquoi "d'ailleurs la constante d'intégration ne sera pas forcément la même" de 11:23 ?

Merci

Philoux

D'abord on résout toujours une équa diff sur un intervalle (et non sur une réunion d'intervalles par exemple) ensuite tu divises par x² donc il ne faut pas que x soit nul. Ensuite tu divises par y(y-1) donc cette fonction ne doit pas s'annuler sur l'intervalle de résolution.
Par ailleurs je n'avais pas remarqué dans ta résolution que tes valeurs absolues avaient disparu, il faut à mon avis distinguer le cas où
(y - 1)/y = k exp (-1/x) avec k>0
et (y -1)/y = -k exp (-1/x) avec k>0
que l'on peut également écrire:
(y -1)/y = k exp (-1/x) avec k>0
et (y-1)/y = k exp (-1/x) avec k<0

Par ailleurs je n'avais pas remarqué dans ta résolution que tes valeurs absolues avaient disparu

JE les ai enlevées car :

ln|(y-1)/y| = -1/x + K

|(y-1)/y| = exp(-1/x + K) = exp(K).exp(-1/x) avec exp(K)>0

retirer les VA consite à écrire :

(y-1)/y = (+/-)exp(K).exp(-1/x)

d'où un k quelconque(positif, négatif nul) k = (+/-)exp(K)

(y-1)/y = k.exp(-1/x)

non ?

Philoux

Excuse-moi de ne pas t'avoir répondu sur les constantes, j'avais oublié.
Il faudrait que je revois mes cours de sup car je n'en suis plus sûr à 100%. Mais ce doit être dû aux intervalles d'étude distincts. Par ailleurs la constante peut prendre n'importe quelle valeur dans R donc sur R+ ou R- ce n'est pas forcément la même valeur.

OK pour ta réponse de 12:08! Tu as raison, on peut réunir les cas.
Togo.

Ok, voilà comment se présenta la suite du problèmes:

-Montrez que les courbes représentatives des fonctions solutions de (E) dans un plan P muni d'un repère orthonormé, sont symétriques 2 à 2 par rapport à un point dont on déterminera les coordonnées.

fk(x) = 1/( 1-k.e^(-1/x) )  (1)

lim(x-> 0-) fk(x) = 0

lim(x-> 0+) fk(x) = 1

Je miserais volontiers sur le point (0 ; 1/2) comme étant le point de symétrie cherché.

Vérifions:

Soit A(0 ; 1/2)
  
Soit P un point de (1): P(X ;  1/(1-k.e^(-1/X)))

vecteur(PA) = (-X ; (1/2) - 1/(1-k.e^(-1/X)))

Soit Q(c ; d) le point symétrique de P par rapport à A.

On a alors:
vecteur(AQ) = (c ; d-(1/2))

Et vecteur(PA) = vecteur(AQ)

--> le système:
c =  -X
d-(1/2) = (1/2) - 1/(1-k.e^(-1/X))

Eliminons X entre ces 2 équations.

d-(1/2) = (1/2) - 1/(1-k.e^(1/c))

d = 1 - 1/(1-k.e^(1/c))

Il faudrait trouver un k' tel  que:

d = 1/( 1-k'.e^(-1/c) )

--> tel que:

1 - 1/(1-k.e^(1/c)) = 1/( 1-k'.e^(-1/c) ) et ceci quel que soit c (différent de 0)

((1-k.e^(1/c)) - 1).( 1-k'.e^(-1/c) ) = (1-k.e^(1/c))

-k.e^(1/c).( 1-k'.e^(-1/c) ) = 1-k.e^(1/c)

-k.e^(1/c) + kk' = 1-k.e^(1/c)

kk' = 1

----> k' = 1/k
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Donc le point A(0 ; 1/2) est centre de symétrie pour tous les couples de courbes:

fk1(x) = 1/( 1-k1.e^(-1/x) ) et fk2(x) = 1/( 1-k2.e^(-1/x) ) pour k1 = 1/k2 (les k étant différents de 0)
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Sauf distraction.