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équation

Posté par
leawz
19-05-21 à 10:46

bonjour, pourriez vous m'aider s'il vous plait?
je dois résoudre sur+ cette équation pour tout a :
(4x) +(4x+1)=a

merci d'avance!

Posté par
hekla
re : équation 19-05-21 à 10:51

Bonjour

Ce n'est pas possible pour tout a \in \R puisque c'est la somme de deux réels positifs

Que proposez-vous ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : équation 19-05-21 à 11:40

Bonjour,
"je dois résoudre" : Ce n'est pas écrit comme ça dans l'énoncé.
Recopie l'énoncé du 1er au dernier mot sans en changer ne serait-ce qu'une virgule.
Je soupçonne des questions qui précèdent.
Je laisse hekla poursuivre.

Posté par
leawz
re : équation 19-05-21 à 11:41

effectivement, a ne peut être que positif puisque la somme de ces racines est aussi positive
pour la suite par contre je ne sais pas

Posté par
leawz
re : équation 19-05-21 à 11:45

bonjour, désolé Sylvieg
voila l'énoncé exact:
résoudre pour tout a l'équation suivante sur +:
(4x)+(4x+1)=a

et non il n'y a pas de questions qui precède, juste cet énoncé

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : équation 19-05-21 à 11:45

Isole une des racines et élève au carré en prenant des précautions.

Posté par
alb12
re : équation 19-05-21 à 11:45

salut,
prouve nous que tu as commence à chercher !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : équation 19-05-21 à 11:46

Après avoir traité le cas a < 0, ou même a < 1.

Posté par
hekla
re : équation 19-05-21 à 11:47

Première idée : élever au carré. Qu'est-ce que cela donne ?

Posté par
alb12
re : équation 19-05-21 à 11:47

saurais tu dresser le tableau des variations de x->sqrt(4x)+sqrt(4x+1) ?

Posté par
matheuxmatou
re : équation 19-05-21 à 11:47

bonjour

en l'absence de hekla je prends un instant le relais

déjà on cherche x dans [0 ; +[

on remarquera que le membre de gauche est toujours supérieur à 1

donc pour a<1, pas de solution

pour a1

en élevant au carré, puis en isolant la partie en racines, puis en ré-élevant au carré, on tombe sur un type d'équation connue

ensuite , bien sûr, il faudra tester les solutions éventuelles car on n'a travaillé que par implications

Posté par
matheuxmatou
re : équation 19-05-21 à 11:48

ah pardon... je te laisse poursuivre hekla

Posté par
hekla
re : équation 19-05-21 à 11:49

Bonjour matheuxmatou

Si vous voulez, vous pouvez continuer.

Posté par
matheuxmatou
re : équation 19-05-21 à 11:55

continue, c'est toi qui avais commencé

Posté par
leawz
re : équation 19-05-21 à 12:11

merci pour toutes vos réponses!
voila où j'en suis pour l'instant
si a<1 il n'y a pas de solution car une racine est toujours positive et le membre de gauche est toujours supérieur à 1=1
si a1 :
(4x+(4x+1))2a2
4x+4(4x2+x)+4x+1a2
4(4x2+x)a2-8x-1
soit en re élevant au carré:
16(4x2+x)a4+64x2+1+2a2(-8x)-2a2-2(-8x)
64x2+16xa4+64x2+1-16a2x-2a2+16x
a4-2a2(8x+1)+10

sauf erreur de ma part dans les calculs
juste une question je ne comprends pas pourquoi on travaille par implication et non par équivalence ? matheuxmatou

Posté par
alb12
re : équation 19-05-21 à 12:33

je trouve tes calculs trop compexes.

Sylvieg @ 19-05-2021 à 11:45

Isole une des racines et élève au carré en prenant des précautions.

tente cette proposition

Posté par
leawz
re : équation 19-05-21 à 12:38

c'est ce que j'ai fait ici non ? j'ai essayé de suivre les instruction de matheuxmatou :

matheuxmatou @ 19-05-2021 à 11:47

pour a1
en élevant au carré, puis en isolant la partie en racines, puis en ré-élevant au carré, on tombe sur un type d'équation connue

Posté par
hekla
re : équation 19-05-21 à 12:40

Pourquoi cette transformation de l'égalité en inégalité

\left(\sqrt{4x}+\sqrt{4x+1}\right)^2=8x+1+4\sqrt{4x^2+x}

on a \left(\sqrt{4x}+\sqrt{4x+1}\right)^2=a^2 \iff 4\sqrt{4x^2+x}=a^2-8x-1

4\sqrt{4x^2+x}=(a^2-1) -8x

on élève au carré  Il faudrait alors précisez pour quelle valeur le second membre est positif  pour une équivalence.

16(4x^2+x)=\left((a^2-1)-8x\right)^2

64x^2+16x=(a^2-1)^2+64x^2-16x(a^2-1)

(a^2-1)^2-16a^2x=0

Posté par
leawz
re : équation 19-05-21 à 12:46

hekla @ 19-05-2021 à 12:40

Pourquoi cette transformation de l'égalité en inégalité

désolé je ne sais pas du tout pourquoi, c'est bien sur une égalité

il me semble que je trouve le même résultat que vous au final, mais l'expression du votre est plus simple

Posté par
leawz
re : équation 19-05-21 à 12:50

peut être pour la suite on peut poser un changement de variable du style A=a2 pour se ramener à une équation du second degré en partant de a4-2a2(8x+1)+1=0 ? je ne sais pas si mon idée est bonne

Posté par
hekla
re : équation 19-05-21 à 12:58

Où voyez-vous une équation du second degré ? C'est une équation en x

Posté par
leawz
re : équation 19-05-21 à 13:08

oui pardon, j'ai confondue car j'ai cru que la variable était a et non x.
on peut alors dire que x=(a2-1)2/16a2

Posté par
hekla
re : équation 19-05-21 à 13:15

Maintenant, il faut vérifier  que cette solution convient   en remplaçant x par sa valeur dans l'équation de départ

Posté par
leawz
re : équation 19-05-21 à 13:19

c'est fait, et je retrouve bien a!
merci pour votre aide

Posté par
hekla
re : équation 19-05-21 à 15:07

Dans les simplifications vous n'avez pas oublié de rappeler que a \geqslant 1

De rien

Posté par
carpediem
re : équation 19-05-21 à 17:56

salut

cette équation est résoluble pour tout réel ...

ensuite elle admet ou non des solutions ...
mais en tout cas toute valeur proposée doit être positive ...

ensuite après avoir remarqué et justifié pourquoi on travaillera avec a \ge 1 :

\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4x} = a \iff \sqrt {4x + 1} - \sqrt {4x} = \dfrac 1 a (en multipliant par la quantité conjuguée qui est inverse : j'aime bien les quantités conjuguées surtout quand leur produit est indépendant de la variable (une constante))

en soustrayant membre à membre, en élevant au carré puis en divisant par 4 on obtient  alors x = \dfrac 1 {16} \left( a - \dfrac 1 a \right)^2

proposition qu'il faut vérifier puisqu'il n'y a pas équivalence pour une des opérations effectuées ...

on remarquera que cette valeur proposée est effectivement positive ...



en additionnant, en élevant au carré, en retranchant 1 puis en divisant par 4 on obtient 4x = \dfrac 1 4 \left( a + \dfrac 1 a \right)^2 - 1 \iff x = \dfrac 1 {16} \left( a - \dfrac 1 a \right)^2

Posté par
alb12
re : équation 19-05-21 à 19:16

autre option

1/ le tableau des variations de f: x->sqrt(4x)+sqrt(4x+1) (inutile de calculer la derivee) montre que:
l'equation f(x)=a a une seule solution si et seulement si a>=1

2/ si x est solution (voir Sylvieg à 11h45) alors sqrt(4x+1)=a-sqrt(4x) alors 4x+1=(a-sqrt(4x))^2 alors ... alors x=... c'est termine
(inutile de chercher des conditions sur x et de verifier si la solution trouvee est solution)

Posté par
carpediem
re : équation 19-05-21 à 19:40

tout à fait d'accord pour le point 1/ : f est une bijection (donc strictement) croissante de [0, +oo[ dans [1, +oo[ ...

pour le point 2/ je propose cette alternative uniquement pour me dispenser de deux élévations au carré ...

effectivement en travaillant dans les positifs je n'ai rien à vérifier ...



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