Bonjour .

Deux cas de figures :

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si p est pair , une solution : k=3p/2 .
si p est impair deux solutions : k=(3p-1)/2 ou k=(3p+1)/2 .

bravo !

question supplementaire , que vaut alors la somme  
E((2k+1)/3)  pour k variant de 0 à n  avec  n impair ?

Bonjour,

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Exemples  (p et  k positifs)
  p   1      3     5     7     9     11
  k    1     4     7   10   13    16
pas de solutions pour les pairs
la formule semble 3 |p/2|+1

pour  p = 51---k=76

Bonjour,

pour la question supplémentaire le résultat ne dépend pas de la parité de .

est égal à

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Bonjour jandri    excellent pour cette forme condensée !
j'ai pas fait mieux mais j'ai obtenu ces quelques formules  qui marchent egalement sans simplification voila ce que j'obtiens ) :

si n =0[3]:
2j    +  2(2j+1)
la premiere somme va de 0 à  n/3  
la premiere somme va de 0 à  (n/3)  -1.

si n =1[3]:
2j    +  2(2j+1)+ E((2n+1)/3)
la premiere somme va de 0 à  (n-1)/3  
la seonde somme va de 0 à  ((n-1)/3)  -1.

si n =2[3]:
2j    +  2(2j+1) +2E((2n+1)/3)
la premiere somme va de 0 à  (n-2)/3  
la seconde somme va de 0 à  ((n-2)/3)  -1.

ces quelques lignes se simplifient en  :

si n =0[3]   , Sn = (n/3)(n+1)

si n=1[3]   , Sn = n(n-1)/3  + E((2n+1)/3)

si n=2[3]   , Sn = ((n-2)/3)(n-1)   + 2.E((2n+1)/3)

flight

Tes formules se simplifient encore :

si n est congru à 0 ou 2 modulo 3 ,

si n est congru à 1 modulo 3 ,

C'est ce que j'ai rassemblé en une seule formule avec une partie entière.

Cela ne dépend pas du tout de la parité de n mais du reste dans la division de n par 3.

On peut montrer que ce nombre est aussi le nombre de façons d'écrire 2n+1 comme une somme de trois entiers naturels non nuls (sans tenir compte de l'ordre).

Par exemple 4 façons pour n=3 (2n+1=7) : 5+1+1=4+2+1=3+3+1=3+2+2.