Bonjour,

une seule fois suffit...
vu que les trois façons d'écrire l'équation sont équivalentes, les ensemble de solutions sont les mêmes
ils sont simplement décrits différemment, avec des t et s différents, mais c'est exactement les mêmes.

salut

et il est inutile de changer z en s :

deux paramètres sont nécessaires (équation d'un plan passant par l'origine), on peut donc garder l'une des variables (x ou y ou z) et appliquer Bezout aux deux autres, ce qui introduit un deuxième paramètres (si solution bien sûr)

Merci mathafou et carpediem !

Il faut que je me batte contre moi-même pour trouver ça intuitif.
Vu que les coefficients de Bézout sont différents dans les 3 cas, j'imaginais 3 droites différentes appartenant au plan  2x+3y-7z = 0.  Et le réflexe d'essayer de les paramétrer. Dès qu'on travaille dans , l'arithmétique si insondable, j'y vais avec les pincettes les plus grosses possibles

bonjour

comme solution on a  x = -k  , y=3k  et z =k   avec k

il t'en manque un bon paquet (une infinité même)
par exemple
x=2, y = 1, z = 1 ne fait pas partie de ton ensemble et pourtant
2*2 +3*1 - 7*1 est bien =0

Bonjour , Merci à mathafou d'avoir relevé mon erreur

je propose x = -3j+2k    y = 2j+k  et z =k    ou j et k sont choisis dans Z²

Bonjour,

C'est équivalent à ce que j'ai proposé.

y = 2j+k  et z =k est équivalent à "On choisit y et z quelconques ... sous la seule contrainte qu'ils soient de même parité"

Et si on applique  le calcul de x correspondant que j'ai proposé,soit
x = (7z-3y)/2 ... on arrive avec les notations de flight à à :
x = (7k - 6j - 3k)/2 = -3j + 2k.

Merci pour ce plus candide2

pour s'amuser :  

donc

qui donne une expression très simple ... mais avec un paramètre "en plus"

la proposition de candide2 est tout de même plus simple : choisir y et z quelconques de même parité et en déduire x ...

@carpediem : j'aime bien ta version. Là c'est limpide!