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équation à 9 inconnues !

Posté par titi72 (invité) 31-12-04 à 19:05

Bonsoir à tous,

Voici mon problème :

Résoudre le système suivant de 4 équations à 9 inconnues A, B, C, D, E, F, G, H, I, sachant que ces neuf inconnues prennent des valeurs entières, distinctes deux à deux et comprises dans l'intervalle fermé [1;9], et que
B * C * D = 30
B * F * G = 270
A * C * D * H * I = 192
E * F * G * H * I = 1512
Donner toutes les "suites" solutions.

Merci à tous ceux qui vont essayer de m'aider !
Très bon réveillon à tous !

Posté par minotaure (invité)re : équation à 9 inconnues ! 01-01-05 à 01:07

salut
je ne donne que les grandes lignes, a toi de justifier
correctement.
soit S=(A,B,C,D,E,F,G,H,I) une solution.
on note Sbig=l'ensemble de ces solutions.
il faut decomposer les second membres :

30=2*3*5
270=2*3^3*5
192=2^6*3
1512=2^3*3^3*7

7 n'apparait qu'une fois dans toutes les decompositions et
c'est la seule ou E apparait => E=7.
le 5 n'apparait que 2 fois : les 2 premieres.
ce sont celles ou apparait B. => B=5.

donc
C*D=6=2*3       (1)
F*G=54=2*3^3    (2)
A*C*D*H*I=2^6*3  (3)
F*G*H*I=2^3*3^3 (4)

comme F*G=2*3^3 =>H*I=2^2.
donc A=8. (d'apres 3)
H different de I donc H=1 ou 4 et I=1 ou 4.
1er cas : si H=4 I=1

etudions (1)
C=1,2,3 ou 6. comme H=1 C=2,3 (6 exclus car sinon D=1)
1er cas a) C=2 => D=3.
d'apres (2) F*G=2*3^3.
il reste 6 et 9 a placer.
donc au choix F=6 ou G=6

conclusion du cas 1a) S=(8,5,2,3,7,6,9,4,1) ou S=(8,5,2,3,7,9,6,4,1)

1er cas b) C=3 => D=2
on a toujours F*G=2*3^3
et 6 et 9 restent a placer.
conclusion du cas 1b) S=(8,5,3,2,7,6,9,4,1) ou S=(8,5,3,2,7,9,6,4,1)

2eme cas : H=1 I=4.
C=2 ou 3 (d'apres 1) et du fait que 1 est placé.
2eme cas a) C=2 ...
S=(8,5,2,3,7,6,9,1,4) ou S=(8,5,2,3,7,9,6,1,4)
2eme cas b) C=3
S=(8,5,3,2,7,6,9,1,4) ou S=(8,5,3,2,7,9,6,1,4)

en tout on doit obtenir 8 solutions possibles (8 choix possibles pour S)
a toi de verifier si chacun de ces 8 cas convient.

conclusion :

Sbig={(8,5,2,3,7,6,9,4,1),(8,5,2,3,7,9,6,4,1),(8,5,3,2,7,6,9,4,1),
(8,5,3,2,7,9,6,4,1),(8,5,2,3,7,6,9,1,4),(8,5,2,3,7,9,6,1,4),(8,5,3,2,7,6,9,1,4),(8,5,3,2,7,9,6,1,4)}

j'ai ptet fait des erreurs...
a toi de verifier tout ca.
bonne annee.

Posté par titi72 (invité)re : équation à 9 inconnues ! 01-01-05 à 11:59

Merci beaucoup, Minotaure !

J'ai trouvé :
A = 8
B = 5
C = 2 ou 3
D = 2 ou 3
E = 7
F = 6 ou 9
G = 6 ou 9
H = 1 ou 4
I = 1 ou 4

Par contre, je n'ai pas cherché le nombre de solutions possibles !

En tout cas, merci beaucoup à toi,

Bonne année à tous !

Posté par minotaure (invité)re : équation à 9 inconnues ! 01-01-05 à 15:56

le nombre de solutions possibles ets implicitement donné :
pour C deux choix si C est placé D l'est.
pour F deux choix si F est placé G l'est.
meme chose pour H et I.

et chacun des choix est independants : on choisit C parmi 2 et 3 alors que F c'est parmi 6 et 9...
donc le nombre de solutions est 2*2*2=8.

Posté par
NupRow
re : équation à 9 inconnues ! 09-07-17 à 02:28

Dans la suite de la correction , le symbole de la multipliation n'apparaîtera pas .
BCD =30 et BFG=270  => 9BCD=BFG    => 9CD = FG
On peut donc écrire 9ECDHI = 1512
Or 1512-192 + 1320
donc ACDHI + 1320 =9ECDHI => 1320 = 9ECDHI -ACDHI
CDHI (9E-A)=1320  ==> CDHI=1320/(9E-A)
On peut remplacer dans l'equation ACDHI=192
Cela donne : 1320A/(9E-A)=192
donc A/(9E-A)=192/1320 =8/55
On en deduit que A = 8 et 9E-A=55 ==> 9E= 63 ==> E =7
On vient de trouver A = 8 et E =7
donc 8CDHI =192 ==> CDHI=24
Et 9FGHI =1512 ==> FGHI=216
Or je sais que  1<B<9 donc CD divise 30 et 24 car CDHI=24
or les diviseurs communs à 30 et 24 sont 1, 2, 3, 6
mais CD ne peut pas valoir 1 , CD ne peut pas valoir 2 car B vaudra 15, CD ne peut pas valoir 3 car B vaudra 10 donc il ne reste que CD = 6
Donc B = 5 , C=2ou3 D =2ou 3
En remplaçant dans CDHI=24 ==> HI =4
donc logiquement H=1ou4 , I=1ou4
et En  remplaçant dans FGHI=216
FG=216/4 =54
On en deduit que F=9ou6 G=9ou6
Donc finalement
A=8
B=5
C=2ou3
D=2ou3
E=7
F=9ou6
G=9ou6
H=1ou4
I=1ou4
Les solutions sont au nombre de 8 dans l'ordre aplphabétique.
Solution1:  852376914
Solution2:  852376941
Solution3:852379614
Solution4:852379641
Solution5:853276914
Solution6:853276941
Solution7:853279614
Solution8:853279641

C'était avec plaisir NupRow.

Posté par
Yzz
re : équation à 9 inconnues ! 09-07-17 à 08:08

12 ans et demi : on doit pas être loin du record de déterrage...

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