salut

le sujet n'a rien à faire dans ce forum

une fraction avec des entiers ça pose pb ...



et les diviseurs de 45 sont connus ...

Bonjour à tous les deux,
@Thomcraft9812,
Merci de renseigner ton niveau dans ton profil.
Informe nous quand ce sera fait en utilisant "Signaler un problème" tout en bas.
Je débloquerai alors le sujet et en changerai le niveau en fonction du tien.

Bonjour carpediem ,

Merci pour ta réponse, mais je ne comprends pas l'intérêt de tes transformations de l'équation ?
Même en connaissant les diviseurs de 45 (--> [1,3,5,9,15,45] ) et en essayant de les faire correspondre aux termes entre parenthèses, on retombe soit sur (5,2) et (2,5) qui sont déjà connues, soit sur des solutions non entières comme (2.5 , 3.5).

parce que dans les entiers la division n'est pas toujours possible : 10 ne divise pas 45 ou encore 45 n'est pas multiple de 10

or écrire ab = 45 signifie que a et b sont des diviseurs de 45

et si 45 = (4p - 5) (4q - 5) et 45 = 1 * 45 = 3 * 15 = 5 * 9

il suffit d'associer les facteurs deux par deux pour trouver les éventuelles solutions

4p - 5 = 1                4p = 6
4q - 5 = 45             4q = 40

pas de solution car p n'est pas entier

et on traite ainsi tous les cas pour trouver que seules (2, 5) et (5, 2) sont solution

Ha d'accord, je ne l'avais pas compris comme ça, je pensais que l'on avait pas forcément toutes les solutions en cherchant les diviseurs de 45, mais en fait si.

Je comprends, il n'y a donc que (2,5) qui fonctionne, merci beaucoup ^^

de rien

Et (5,2).

Maintenant que cette méthode a abouti, j'en propose une autre moins astucieuse que la factorisation (4p - 5)(4q - 5).
Quand on veut trouver des entiers en raisonnant sur des divisibilités, il est conseillé de se débarrasser des fractions et des coefficients non entiers.
p = (q + 1) / (0.8*q - 1) donc (0,8q -1)p = q+1
0,8 = 4/5 ; en multipliant par 5 on obtient :
(4q-5)p = 5(q+1) ; donc 4pq = 5(p+q+1).
L'entier 5 divise donc 4pq.
On en déduit facilement que p = 5 ou q = 5.

oui c'est plus classique !

on pouvait conclure avant même ta dernière étape car 5 est premier :

(4q - 5) p = 5(q + 1)

5 divise p ou 5 divise 4q - 5 donc 4q donc q