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Equation avec factorielles

Posté par
intellect45
02-05-15 à 08:22

Bonjour,

Dernièrement je me suis posé la question de savoir pour quels nombres 1*2*3...*n=1+2+3...+n
soit: n!=(n*(n+1))/2.

Sans vous refaire toutes les lignes, j'arrive à 2(n-1)!=n+1. Alors évidemment, le ou les nombres qui marchent sont assez petits pour qu'une double factorielle de ce nbre -1 soit égale à n+1. Ca marche avec 3 en tout cas. 1*2*3=1+2+3. Et c'est sans-doutes le seul.

Bref, je voudrais la technique pour résoudre une équation du type x!=n en connaissant n, pour trouver x. Et, soit j'arrive à n=3 dans l'équation du haut soit j'arrive à n=... sans n de l'autre côté bien-sur.

Merci pour votre aide, sachant que j'ai un niveau seconde mais que je peux faire des efforts de compréhension pour des notions pas trop abstraites...

Posté par
Flewer
re : Equation avec factorielles 02-05-15 à 08:30

Bonjour,

Cela marche aussi pour n=1.

Il n'y a pas de méthode pour résoudre ce genre d'équation.

Pour un n assez grand, on peut utiliser l'équivalent de Stirling qui donne n!\sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n} mais qui sert surtout pour l'étude de suites et de limites, le cas pour approximer des solutions d'équations étant des cas particuliers (car il faut un n assez grand).

Posté par
intellect45
Re 02-05-15 à 14:18

Je vois. j'avais déjà "étudié" enfin je connaissait déjà la formule de Stirling mais je suis assez surpris par le fait qu'on ne puisse résoudre algébriquement x!=n, comme avec les fonctions log ou ln pour les puissances. J'en déduis qu'on est obligé de procéder par tâtonnement. Enfin, merci quand-même.

Posté par
Flewer
re : Equation avec factorielles 02-05-15 à 16:23

En seconde tu connais déjà Stirling ? Evite de brûler trop d'étapes non plus..

Posté par
gueug78
Flewer 02-05-15 à 16:40

Bonjour Flewer,

Je pense qu'il doit y avoir une loi pour "approximer" cette égalité. Il faut chercher ...

Grégory

Posté par
alb12
re : Equation avec factorielles 02-05-15 à 16:51

salut,
isoler n n'est guere possible
on peut cependant montrer que si n>=4 alors n!>n^2 et n*(n+1)/2<n^2
A verifier je n'ai pas regarde en detail.



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