Bonjour,

 Cliquez pour afficher

x = 3
Solution unique

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

Par le chemin des écoliers ...

E(V(2x)) = x - 1
--> x >= 1  (1)

V(2x) - 1 < E(V(2x)) <= V(2x)
V(2x) - 1 < x-1 <= V(2x)

a) V(2x) - 1 < x-1  (les 2 membres sont positifs et donc ...)
2x < x²
x(x-2) > 0  et avec (1) ---> x > 2

b) x-1 <= V(2x) (les 2 membres sont positifs et donc ...)
x²-2x+1 <= 2x
x²-4x+1 <= 0
(x-2)² <= 3
---> x <= 2 + V3

On a donc 2 < x <= 2 + V3

Et comme x est entier, la seule solution est x = 3

Bonjour et bravo à tous !

Suite
Candide2 m'a devancé car je voulais démontrer le résultat

 Cliquez pour afficher

Oublions la partie entière :
2x=x-1--->x²-4x+1=0
racine x1 =3.732   (2+3 )  pour mémoire x2=0.268
Comme la partie entière sera inférieure je passe à l'entier le plus proche soit 3

Suite
J'ai voulu tester pour d'autres valeurs:
exemple   I 6 x I=x-4
-->x²-14x+16--->x1=12.774
Je retiens 12

C'est un peu plus compliqué que de passer à la partie entière après avoir trouvé les zéros d'un polynôme

E(sqrt(px)) = qx - 1 équivaut à qx-1 <= sqrt(px) < qx (1)

Comme on est dans les réels positifs, sqrt(px) < qx équivaut à px < q²x², ce qui équivaut à x > p/q².

L'autre inégalité, qx-1 <= sqrt(px), on peut également la passer au carré pour obtenir l'inégalité équivalente

q²x² + 1 -2qx <= px
qui équivaut à q²x² -(p+2q)x + 1 <= 0

Il faut ensuite se souvenir de ses cours de lycée et savoir qu'un trinôme du second degré est du signe de son coefficient dominant à l'extérieur de l'intervalle formé par ses racines réelles, s'il en a.

Δ = (p+2q)² - 4q² = p(p+4q) > 0 donc l'existence des racines est acquise.
Les racines sont (  p+2q +- sqrt(p(p+4q))  ) / (2q²).
L'une des deux racines est clairement positive, l'autre l'est aussi parce que (p+2q)² > (p+2q)²-4q² = Δ = sqrt(p(p+4q))².

Ce faisant, l'inégalité (1) est équivalente à
x ∈ [(p+2q - sqrt(p(p+4q))) / (2q²) ; (p+2q + sqrt(p(p+4q))) / (2q²)] ∩ ]p/q²; ∞[


Si on note y la petite racine et z la grosse racine pour alléger un peu, ça veut dire x ∈ ]max(y,p/q²), max(z,p/q²)]

On ne garde que les solutions entières, ce qui donne au final E(max(y,p/q²))+1 < x <= E(max(z,p/q²))

Petite faute de frappe à la fin, c'est E(...) + 1 <= x <= E(...).

Cette généralisation ne répond pas  à ce que tu demandais dpi, puisque j'ai généralisé avec un coefficient multiplicatif p au lieu d'un coefficient additif. On peut généraliser la généralisation avec un troisième coefficient r