Bonjour,
En notant r le module de z, et Z = z³, on a
Z = r² + i 2 r et |Z|=r³ .
En exprimant | r² + i 2 r | en fonction de r, on peut en déduire une équation en r².

Ah d'accord je vois pour le module.

Ce que je ne comprends pas: pourquoi le module de Z est r³? Si je le calcule j'ai |Z|=r*sqrt(r^2+2)

Et donc je dois résoudre l'équation r^2+i*sqrt(2)*r-Z=0 c'est ca?

salut

il ne doit plus y avoir de z ou de Z !!


tout d'abord on peut remarquer que 0 est solution

en supposant maintenant z non nul et en posant alors on peut diviser par |z| et l'équation est équivalente à :

   (le membre de droite est la forme algébrique d'un complexe puisque |z| est réel)

donc en prenant alors les modules de chaque côté on obtient

donc soit encore

Je réponds à kassiopeia.
Si Z = z³ alors |Z| = |z|³ = r³
Par ailleurs, |z|²+i(2)|z| est de la forme x+iy avec x et y réels.
D'où le carré du module : x² + y² = (|z|²)²+(sqrt(2)*|z|)² = |z|⁴ + 2|z|² = r⁴ + 2r²
Et enfin (r³)² = r⁴ + 2r²
Poser R = r² pour obtenir R³ - R² - 2R = 0.
R³ - R² - 2R = 0 R(....) = 0
A terminer sans oublier que R et r sont positifs.

Merci bcp à vous deux! J'ai bien compris les deux chemins =)

En fait j_ai remarqué que j'avais trouvé exactement les mêmes solutions avant, mais je savais pas quoi faire avec a^2+b^2=-1 etc.. j'ai pas pensé de prendre la forme trigonométrique

Juste une dernière chose: Les solutions obtenues sont donc

z=0,
r=sqrt(2) et
r=-1

Si les modules sqrt(2) et -1 sont des solutions.. est-ce que ca veut dire que tous nombres complexes avec ces modules sont des solutions?

Tu as déjà vu un module égal à -1 ?

ah oui bien sûr.. bête

donc les solutions r=-sqrt(2) et r=-1 sont impossible.

d'où r=0 ou r=sqrt(2), donc z=0 ou z élément du cercle de centre (0|0) et de rayon sqrt(2)? cest ca?

en attendant que Sylvieg revienne à nouveau ...

attention il me semble : tu as trouvé que mais il reste encore à déterminer un argument

car l'équation devient après simplification

il suffit de transformer le second membre sous forme exponentielle ...

hmm.. mais c'est pas ca?

car |z|=0 ou |z|=2 ou autrement a^2+b^2=0 ou a^2+b^2=2

a et b étant des réels ca doit être a=0 et b=0 donc z=0 ou le cercle non?

@carpediem j'ai vu ta réponse trop tard..

j'ai compris mtn.. en fait on avait juste calculé |z| c'est ca?

donc en remplacant dans l'équation initiale et en calculant les racines j'ai

(z=0 du début) après z1=6sqrt(8)*cis(pi/12), z2=6sqrt(8)cis(3pi/4) et z3=6sqrt(8)*cis(pi)

je ne comprends pas d'où vient ce 6 ?

et que signifie cis ?

6 pour sixième racine car il faut calculer la troisième racine de sqrt(8)

et cis abrévation pour cos(...)+i*sin(...)

Bonjour,
L'abréviation utilisée pour cos(...)+i*sin(...) est e^i... .
z₃ est faux.
8 = 2³ ; donc "racine 6ème de 8" se simplifie.

Il y a des boutons sous la zone de saisie :
"X²" pour les exposants.
"" pour accéder à pas mal de symboles mathématiques dont .
Ne pas oublier de faire "Aperçu" avant de poster.

et tu as trouvé précédemment que si z n'est pas nul alors son module est tout simplement !!

il n'y a donc plus que l'argument à trouver

un argument

Je vois
z₃=2*e^((17/4)*i

Pour le cis.. j'ai appris cet abrévation à l'école il y a longtemps, notre prof l'a toujours utilisée.. Mais je suis Allemande, peut-être c'est pour ca

Merci bcp à vous deux!

Ok pour cis en Allemagne
Une coquille sans doute pour z₃.