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Avec Descartes je trouve 1+2i, -4-2i et leur conjugués. Peut être il y a-t-il une méthode plus élégante?

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heu, il y a une méthode accessible pour un terminal, assez simple. donc j'imagine que oui

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c'est quoi ce que tu utilise quand tu dis "Descartes" ?

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une méthode un peu bourrine

z^4 + 6z^3 + 9 z² + 100  = (z²+3z)² + 100
= (z²+3z)² - (10i)²
= (z²+3z + 10i)(z²+3z - 10i) = 0

Soit z²+3z - 10 i = 0 , donc en posant z = a + ib , on trouve
a²-b²+ 2ab*i + 3(a+ib) = 10i
donc a² - b² + 3a + i(2ab+3b) = 10i

ce qui nous amène à    | a²-b² + 3a = 0
                       | 2ab + 3b = 10
d'où b = 10/(2a+3) , et a² - [10/(2a+3)]² + 3a = 0

Ce qui nous conduit à l'équation 4a^4 + 24a^3 + 45a² + 27a - 100 = 0
donc (a²+3a-4)(4a²+12a+25) = 0
on trouve comme solutions a = 1 ou a = -4

ce qui nous conduit aux paires (1,2) et (-4,-2) : les nombres z1= 1 + 2i et z2 = - 4 - 2i sont solutions.

leurs conjugués sont de la forme (a-ib) donc on a toujours a²-(-b)² + 3a = 0
et 2a(-b) + 3(-b) = -(2ab+3b) = -10
donc ils sont solutions de l'équation z²+3z +10 i = 0

S = {1+2i, 1 - 2i, -4-2i, -4 + 2i }

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En premier lieu, il faut se ramener à un polynôme unitaire en $X^4$ sans terme en $X^3$, puis de lécrire comme produit de deux polynômes du second degré.