Bonjour,
As-tu appris la formule de Cardan ?

OUI sans doute à la fac mais il y si longtemps !

Donc une petite révision sur le net.....

Bonjour à tous les deux,
Cerragel, peux-tu renseigner ton profil s'il te plaît, qu'on connaisse un peu les outils dont tu peux disposer ? ce n'est pas le choix qui manque
je te remercie

extrait de la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Oui, indiquer son niveau (dans son profil) et celui du problème est obligatoire lorsqu'on pose une question.

Un correcteur pourra ainsi facilement juger s'il est en mesure de vous aider ou non. En l'absence de cette précision, aussi bien sur votre profil que sur le forum dans lequel le sujet est publié, il risque moins de vous indiquer une méthode que vous n'avez pas encore vue en classe, etc.

De même, si vous êtes élèves dans un pays francophone, vous pouvez consulter les équivalences des systèmes de niveaux scolaires afin de choisir le niveau de la classe française correspondant à votre classe. Cela permet au correcteur d'intégrer le fait que votre niveau scolaire ne correspond pas forcément à celui stipulé dans les programmes français en vigueur.

Il est de même demandé aux aidants de renseigner leur profil, ce qui en général donne une bonne indication du niveau de l'aide apportée.

Je suis un ancien prof, de Lycée, certifié de Math à la retraite.

En fait je cherche, pour le plaisir, la réponse à un problème que je me me suis posé  il y a quelques temps déjà.

Le voici:
Comment partager un gâteau en forme de quart de disque, en deux parties équivalentes ( de même aire )  en coupant le gâteau parallèlement à l 'un des côtés du quart de disque.
Plus concrètement soit AOBA le quart de disque de centre O et de rayon R ( nombre connu ) , H un point de  [OB] et d la droite perpendiculaire à (OA) passant par H, qui coupe l'arc AB en C. Peut-on déterminer la valeur exacte de la longueur OH en fonction de R pour que les surfaces AOHCA et CHBC aient la même aire.
Y a t-il une solution par une méthode purement géométrique ?
Moi j aboutie à une équation non algébrique que je ne sais pas résoudre !

Par le calcul intégral j' aboutie à l'équation:

sin2x + 2x = Pi/2         ( où x est la mesure de l 'angle BOC )

et enfin  en utilisant un développement en série de Mac Lorin à l'ordre 2 je trouve

12x -x^3 = 3Pi

d' où ma question d'origine.

Merci à dpi et à Malou pour votre contribution et votre réactivité.

Cordialement

Cerragel

Je note que ton équation est différente de celle du départ.
On pose     -x³+12x-3 =0
Je trouve  0.75021208 avec la méthode de Gérard Villemain

Merci dpi pour ta réponse.
Oui il y a une petite erreur de frappe. La bonne équation est la seconde
12 x - x^3 = 3 Pi
Je vais essayer de retrouver ta réponse avec la méthode de Villemain et vérifier si cette valeur est une bonne valeur approchée pour R=10cm.

As-tu pu vérifier si mon équation est bien celle qui répond au problème du départ
( partage du gâteau en deux parts équitables ) ?

salut,
avec un risque d'erreur non negligeable, pour un rayon de 1, je trouve 2 parts d'aire 0.392699081699

Bonsoir
J'ai essayé ta figure , visiblement l'angle x est plutôt   AOC  mais qu'importe.
Je trouve x=0.415855 rad

Ce qui pour un rayon R=10 donne une surface de 39.27 comme l'a trouvé alb12
.
Quant au rapport OH/R  soit sin x= 0.4039
j'aimerai bien voir quelle équation du 3ème degré correspond.

salut

difficile de comprendre l'énoncé sans une figure ...

on peut se passer du calcul intégral pour résoudre ce pb ...

et vu que la solution est proche de x = 1,16 rad utiliser l'approximation me semble ... très approximatif : 2x est loin de 0 !!

d'autre part le rayon n'a aucune influence sur le résultat puisque si les longueurs sont multipliées par r alors les aires sont multipliées par r^2 ...

avec la figure suivante :


je note :


t l'aire du triangle OCD
s_1 l'aire du secteur OAD
s_2 l'aire du secteur ODB

on veut que la droite (CD) partage le quart de disque en deux surfaces d'aires égales donc  

donc x vérifie l'équation

les courbes tracées sont les lieux des points P(x, t + s_1) et Q(x, s_2 - t)


PS : désolé ça fait une heure que je suis dessus avec cette "saleté" de ggb qui se modernise ... médiocrement (avec plein de bug !!)

pardon ...

P = (x, t + s_2) et Q = (x, s_1 - t) ...

Pour l'égalité des aires il faut que l'aiguille de carpediem s'arrête là
Par contre ,je ne vois pas le lien avec l'équation du 3ème degré

x=OH? ;  x=HC ?  ;  x= HB ?

Bonjour,
Le lien était donné dans le message d'hier à 16h :

Et x n'est pas une longueur, mais une mesure d'angle.
De 0 à /2 et notée a sur la figure animée.
Les noms des points ne sont pas les mêmes pour carpediem et Cerragel.
Pour que le fil ne soit pas trop embrouillé, je propose d'adopter ceux qui apparaissent sur la figure de carpediem.

en effet c'est evident, ce resultat etait en fait une verification au terme de ma demo

>alb12

L'aire R²/8 était immédiate...

Combien trouves-tu pour x et donc pour  le rapport OH sur R ?

voicin ma demo mais je n'ai peut etre pas pris vos configurations

>Sylvieg

Je pense que dans l'esprit de Cerragel il y avait la volonté de couper le gâteau selon
le trait bleu ,ce qui n'est pas dans le graphe de carpediem ,ll vaut donc mieux  garder
cette forme

Merci alb12 pour ta démo ,donc OH=

ton trait bleu est ma droite verticale (CD) ...

le curseur a est l'angle x = (OA, OD) ...

ne comprenant pas l'ensemble des notations de Cerragel sans figure j'ai effectivement repris une configuration plus usuelle et naturelle : (O, A, B) est un repère orthonormé et cercle trigonométrique (puisque pb indépendant du rayon)

a distance demandée OH est donc "mon" OC et bien sûr OC = cos x (= cos a)

Si tu appliques un quart de tour indirect à ta figure, tu obtiens celle de carpediem.
Ton segment CH devient son segment DC qui se promène.
Et c'est bien ce que j'ai compris avec

Bonjour carpediem
Je n'avais pas vu ton message.

Vous connaissez mon sens pratique
Si je devais couper  une part de 1/8 je  couperai directement à 45 °
Si comme Cerragel je devais couper parallèlement à un rayon je couperai
à 0,4 de l'autre coté et je prendrai  l'autre part

Bonjour à tous,
Merci pour votre contribution.
Dans l énoncé de mon problème je précise bien que la coupe du gâteau se fait selon la droite (HC) parallèlement au côté [OA]  ( H est un point de[OB] et C sur l'arc AB.

Carpediem, merci pour le temps que tu as passé passé à  réaliser cette belle animation dont je ne comprend pas tous les détails.

J'ai repris tous mes calculs et après pas mal de temps j'ai bien retrouvé l'équation

4x-2sin2x = Pi

Je n' avais pas vu à l'époque le passage de sinxcosx en ( sin2x)/2

J'ai alors repris la fin de mon calcul intégral ( pour confirmation ) où j'obtenais l'equation   sin2x+2x = Pi/2
mais où x est la mesure de l'angle BOC ( C étant sur le cercle )

Je suis très content car si on nomme y l'angle AOC  ( y = Pi/2 -x) on obtient alors l'équation -sin2y +2y = Pi/2

soit 2y-sin2y = Pi/2 et qui est bien l'équation que tu as obtenu où y se nomme x , mesure de l'angle AOD avec D au lieu de C.

Pour finir voici la question que je me pose depuis le début: Comment résoud-on une telle équation ?

Comment as-tu trouvé que 1,16 rd est une solution de l'équation sans utiliser un
développement de sin2x en série de Mac Lorin ?

Cordialement.

c'est une équation transcendante donc tu ne pourras pas trouver une solution exacte ... sauf peut-être sous forme d'un développement en série infinie ..

donc j'ai simplement déterminé une valeur approchée !!

Merci Carpediem pour ta réactivité.

Je reste néanmoins sur ma fin !!

Comment as-tu trouvé la valeur approchée ?

Je sors la grosse machinerie :
Il s'agit de résoudre 4x - 2sin(2x) = avec 0 x /2 .
Equivalent à 2x - sin(2x) = /2 .
En posant X = 2x , on commence par chercher à résoudre X - sin(X) = /2 avec 0 X .

g(X) = X - sin(X).
G est continue et strictement croissante sur [0;].
G(0) = 0 et G() = .
L'équation G(X) = /2 a donc une unique solution dans [0;].
On en trouve une valeur approchée par sa méthode préférée.

Messages croisés : N'importe quelle calculatrice niveau lycée est capable de résoudre de manière approchée n'importe quelle équation quand on sait dans quel intervalle la chercher.
On peut aussi regarder là :

Je confirme

Merci à tous pour votre aide.
J'ai les réponses à mes questions.

Malou

Comment faire pour clore cet exercice ?

Cordialement.

Cerragel

On ne fait rien de plus que les deux premières lignes de ton message
Les sujets restent ouverts.
Certains îliens demandent une aide supplémentaire sur de vieux sujets.

Vous aviez vu que j'avais 4.039  pour OH  depuis hier à 20h52

Que devient l'équation du 3 ème degré en x  titre de cet exo?
Etant précisé que x soit l'angle en radians

Bonjour dpi,

Oui j'ai lu valeur approchée de 4.039

Ce qui m'importais, c'était de savoir comment trouver cette valeur. J'ai la réponse.

Pour ce qui est de l'équation de degré3, j' annule la recherche avec le développement en série car Carpediem me dit que l'approximationde sin2x en 2x-8x^3/3est trop approximatif car 2x est loin de 0 !

Bonne soirée à tous et encore merci .

Cordialement

bonjour à tous

ce qui m'interpelle dans ce fil, c'est que l'équation (avec X=2x)

X - sin(X) = /2

me fait penser au calcul que l'on fait en astronomie en appliquant les lois de Kepler pour les longitudes héliocentriques des planètes.

L'anomalie excentrique "u" sur l'ellipse d'excentricité "e" est solution de l'équation

u - e sin(u) = M

où M est l'anomalie moyenne

évidemment, avec e=1 on n'est plus sur une ellipse

mais bon, la méthode qu'on applique en général est de calculer les termes de la suite u_n+1 = f(u_n) jusqu'à la précision voulue avec u₀=M

avec f(t) = M+e sin(t)

ça fonctionne bien aussi avec e=1 et M=/2

Oui, c'est une méthode de plus pour trouver une valeur approchée :
Mettre en place une suite qui converge vers la solution de f(X) = X.
La dérivée de f étant majorée par une constante strictement inférieure à 1.

On peut "tomber" directement sur x, en utilisant g(x) =(1/2)sin(2x) + /4
Et utiliser v_n = cos(u_n)