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équation de récurrence de suite

Posté par
violette75
22-09-21 à 18:58

Bonjour, cela plusieurs fois que je cherche une formule de suite pour cet exercice mais je trouve des résultats différents pour chaque n.

On mesure l'effectif d'une population de bact´eries et on obtient les donn´ees suivantes, o`u n mesure le
temps en heures et xn mesure l'effectif de la population (en milliers de bact´eries) n heures apr`es le d´ebut de
l'exp´erience :
n xn
0 2
1 3
2 5
3 9
4 17
1. Trouvez l'´equation de r´ecurrence de la suite et sa solution explicite.
2. De quel type de mod`ele s'agit-il ?

Posté par
carpediem
re : équation de récurrence de suite 22-09-21 à 19:07

salut

à peine de calcul mental amène à considérer la différence  x_{n + 1} - x_n

Posté par
flight
re : équation de récurrence de suite 22-09-21 à 23:05

salut

tu peux penser aux suites " arithmetico geometriques"

Posté par
violette75
re : équation de récurrence de suite 23-09-21 à 14:21

j'ai essayé les suites arithmético géométriques mais ce n'était pas concluant et carpedium la différence que tu as écrit c'est égal à quoi ?

Posté par
carpediem
re : équation de récurrence de suite 23-09-21 à 14:36

un peu de sérieux !! relis ton énoncé ...

Posté par
flight
re : équation de récurrence de suite 24-09-21 à 19:01

et pourtant il s'agit bien sur suite  arithmetico geometrique

Posté par
violette75
re : équation de récurrence de suite 24-09-21 à 20:28

je viens de trouver c'est x(n+1) = xn + 2(n+1)/2

mais je ne sais pas comment le démontrer

Posté par
carpediem
re : équation de récurrence de suite 24-09-21 à 20:33

faux ...

Posté par
violette75
re : équation de récurrence de suite 25-09-21 à 10:37

pourtant je trouve les bon résultats
avec u(n+1) un + 2 ça ne marche pas pour tout

Posté par
carpediem
re : équation de récurrence de suite 25-09-21 à 10:41

carpediem @ 22-09-2021 à 19:07

à peine de calcul mental amène à considérer la différence  x_{n + 1} - x_n
et si tu nous montrais tes résultats !!

parce que avec
violette75 @ 22-09-2021 à 18:58


n  x_n
0     2
1     3
2     5
3     9
4     17
on n'a pas le droit de ne pas donner la bonne réponse !!

alors prend un papier et un stylo et donne-nous x_{n + 1} - x_n ...

Posté par
violette75
re : équation de récurrence de suite 25-09-21 à 14:11

on a x2-x1=5-3=2
et x0=2

après on a x3-x2= 9-5=4

x4-x3=17-9=8

Posté par
carpediem
re : équation de récurrence de suite 25-09-21 à 15:08

il manque le premier ...

Posté par
violette75
re : équation de récurrence de suite 25-09-21 à 15:57

x1-x0=3-2=1

Posté par
carpediem
re : équation de récurrence de suite 25-09-21 à 16:00

bon alors écrit proprement ces quatre différences et regarde bien !!!

Posté par
lafol Moderateur
re : équation de récurrence de suite 25-09-21 à 16:11

Bonjour
tu n'as pas encore eu l'idée d'ajouter une colonne au tableau ? tu n'as réellement rien remarqué ? c'est vraiment un fléau, ces calculatrices !

nx_nx_n-x_{n-1}
02
131
252
394
4178

Posté par
lafol Moderateur
re : équation de récurrence de suite 25-09-21 à 16:14

d'ailleurs si tu savais la table de 2, (toujours ce fléau des calculatrices ...) tu aurais aussi remarqué depuis longtemps que chaque ligne n'était pas loin d'être le double de la précédente ... (surtout après ce que t'a soufflé flight)

Posté par
carpediem
re : équation de récurrence de suite 25-09-21 à 16:40

moi je ne souffle pas j'inspire !!! je guide, j'accompagne ...

mais rien ne sort !!

Posté par
violette75
re : équation de récurrence de suite 25-09-21 à 18:06

je retrouve ma formule d'avant que j'ai corrigé :  x(n+1) = xn +2^n

Posté par
carpediem
re : équation de récurrence de suite 25-09-21 à 19:16

non ça n' rien à voir avec la formule d'avant ...

on admet donc que pour tout n : x_{n + 1} = x_n + 2^n avec x_0 = 2

formule explicite ?

Posté par
violette75
re : équation de récurrence de suite 25-09-21 à 22:15

Une suite arithmético-géométrique est une suite récurrente de la forme : ∀n∈N, un+1=a×un+b = Un + 2^n
Avec :

a ≠ 1 : Dans le cas contraire c'est une suite arithmétique
b ≠ 0 : Dans le cas contraire, c'est une suite géométrique

∀n∈N, un=l
Donc on va résoudre l'équation
l=a×l+b

Donc pour trouver la formule explicite, notre a= 1, d'après ce qui est écrit au dessus je dois considérer ma suite comme une suite arithmétique : un= U0 + nr = 2+2n.
Désolée mais je suis perdue

Posté par
carpediem
re : équation de récurrence de suite 25-09-21 à 22:54

violette75 @ 25-09-2021 à 22:15

Une suite arithmético-géométrique est une suite récurrente de la forme : ∀n∈N, un+1=a×un+b = Un + 2^n
faux : la suite n'est pas arithmético-géométrique ... puisque 2^n n'est pas constant ...

x_0 = x_0
 \\ x_1 = x_0 + 2^0
 \\ x_2 = x_1 + 2^1
 \\ x_3 = x_2 + x^2
 \\ ...
 \\ x_{n - 1} = x_{n - 2} + 2^{n - 2}
 \\ x_n = x_{n - 1} + 2^{n - 1}

et il suffit de ...

Posté par
violette75
re : équation de récurrence de suite 26-09-21 à 11:35

xn = x0 + ∑ 2^(i-1) avec i allant de 1 à n.

Est-ce bon ?

Posté par
carpediem
re : équation de récurrence de suite 26-09-21 à 11:50

certes mais il faut calculer cette somme avec



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