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équation différentielle

Posté par
tetras
13-04-23 à 18:10

Bonjour pouvez vous m'aider à comprendre cet exercice?
merci
f est une fonction dérivable sur [0;+oo[
f(0)=20
f' sa dérivée
on admet que f est solution de l'équation différentielle
(E) : y'+0,8y=4
1a) résoudre l'équation différentielle E(0): y'+0,8y=0
les solutions sont du type xCe^{-0,8x}
je ne peux pas donner plus de précision quant à C!?

b)soit g la fonction définie sur [0;+oo[ par g(t)=5
Vérifier que la fonction g est solution de l'équation différentielle (E)
j'ai cherché une solution à (E) et j'ai trouvé
xCe{-0,8x}+5
mais je ne vois pas comment faire le lien avec g

Posté par
phyelec78
re : équation différentielle 13-04-23 à 18:33

bonjour,

il faut que la  trouviez constante C en utilisant f(0).

vous avez f(x)=Ce{-0,8x}+5

Posté par
phyelec78
re : équation différentielle 13-04-23 à 18:39

autre chose : posez y=g(t)=5
que vos y'

que vaut y'+0,8y

Posté par
phyelec78
re : équation différentielle 13-04-23 à 18:40

erratum lire  que vaut y'

Posté par
carpediem
re : équation différentielle 13-04-23 à 20:59

salut

tetras @ 13-04-2023 à 18:10

1a) résoudre l'équation différentielle E(0): y'+0,8y=0
les solutions sont du type xCe^{-0,8x}
je ne peux pas donner plus de précision quant à C!?
si, il faut préciser que c'est un réel quelconque ... (dans R un un complexe quelconque dans C) ou plus généralement un scalaire quelconque

on vérifie bien d'ailleurs que la fonction f(x) = ce^(-0,8x) vérifier l'équation

Posté par
tetras
re : équation différentielle 14-04-23 à 11:57

Citation :
posez y=g(t)=5
que vaut y'

que vaut y'+0,8y


y'=0
y'+0,8y=0+0,8*5=4
donc g est solution de l'équation différentielle (E)

1c) en déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E)
2)on rappelle que f(0)=20
déterminer la solution f de l'équation (E) qui vérifie la condition initiale f(0)=20
si je dis que les solutions sont de la forme

Ce^{-0,8x}+5
et f(0)=20
la solution f de l'équation (E) qui vérifie la condition initiale est
f(t)=15e^{-0,8t}+5
je réponds à la question 2 mais je ne comprends pas le lien avec g et la question 1c)
merci

Posté par
phyelec78
re : équation différentielle 14-04-23 à 18:40

vous avez à résoudre une équation différentielle linéaire à coefficients constants (E) : y′ + ay =  b ( a,b  constants ici a=0.8,b=4).

1) On résout d'abord l'équation homogène (c'est à dire sans second membre) :
(E0)  y′ + ay = 0   on trouve y0 = Ce−at qui est la solution générale. La constante C (un réel) est déterminée si une condition initiale est donnée (ici f(0))
2)On chercher une solution particulière ypart, ici c'est g(t).
3) Comme l'équation (E) est linéaire, la solutions de (E) est la solution générale + la solution particulière:  Ce−at+ypart



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