Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Equation différentielle y' = a/y + b/y²
Bonjour
Je voudrais savoir s'il existait une méthode pour résoudre ce type d'équation différentielle :
Soit y une fonction strictement positive de t, (t >= 0), avec la condition initiale y0 = f(t0) et la relation différentielle
y' = a/y + b/y²
Voici mes réflexions :
Alpha) cas b=0
y' = a/y
yy' = a
(y²/2)' = a
(y²)' = 2a
y = racine(2at + k) et détermination de k par y0 = f(t0)
Bravo) cas a=0
y' = b/y²
y²y' = b
(y^3/3)' = b
(y^3)' = 3b
y = racine cubique(3bt + k') et détermination de k' par y0 = f(t0)
Dans un premier temps, pouvez-vous me confirmer ces deux cas particuliers ?
Ensuite, comment traiter le cas général où a et b sont non nuls
y' = a/y + b/y²
Se sert-on des deux cas particuliers Alpha et Bravo traités précédemment ?
Je vous remercie
Rudy
Salut,
Juste une idée en passant : si tu écris y' = (ay+b)/(y2) tu obtiens [y2/(ay+b)]dy = dt et tu intègres; y sera défini implicitement par cette relation ...
Bonsoir ;
juste une idée pour traiter le cas général :
avec ton équation s'écrit aussi
formellement cette équation s'intégre en
où est une primitive de
sur un intervalle maximal
de
contenant
et une constante réelle à déterminer par la condition
théoriquement sur chaque sous-intervalle de
où
garde un signe constant (donc où
est strictement monotone)
on a une solution qui s'écrit
si mes calculs sont bons admet sur chacun des intervalles
et
une primitive qui s'écrit
je crois que la cas est assez bien traité il faut juste faire attention au signe de
car par hypothèse la solution doit être strictement positive au moins dans un voisinage de
sauf erreur bien entendu
y' = a/y + b/y²
On a directement une équation à variables séparées facilement inyégrable.
Cas a différent de 0 :
dy/dt = (ay+b)/y²
y²/(ay+b) dy = dt (on fait la division euclidienne et ...)
[(y/a - b/a²) + (b²/a²)/(ay+b)] dy = dt
On intègre:
y²/(2a) - (b/a²)y + (b²/a³).ln|ay+b| = t + K
---
Avec la condition initiale :
yo²/(2a) - (b/a²)yo + (b²/a³).ln|a.yo+b| = K
-->
y²/(2a) - (b/a²)y + (b²/a³).ln|ay+b| = t + yo²/(2a) - (b/a²)yo + (b²/a³).ln|a.yo+b|
Maintenant, essayer d'écrire cela sont la forme y = f(t) ... c'est peine perdue.
---------
Sauf distraction. 
Merci pour vos réponses et surtout l'idée de PIL qui a déclenché toutes les autres
J-P a répondu à la question indirectement posée qui était de pouvoir exprimer y en fonction de t ce qui n'est donc pas possible
Le but de cette qestion était de pouvoir résoudre des équations différentielles de l'exercice de La carafe filtrante que j'avais proposé ici https://www.ilemaths.net/sujet-enigme-mathematique-la-carafe-filtrante-289281.html
En effet, mon message du 7 juillet à 21 h 39 présentait deux équations différentielles :
dx/dt = 5(40-x)/( 6(pi/28²)(40+9x)² ) qui est une équation différentielle de la fonction x et de la variable t.
et
dx/dt = -5(x+20)/( 6(pi/28²)(40+9x)² ) qui est une équation différentielle de la fonction x et de la variable t.
que j'ai résolues graphiquement par la méthode d'Euler, donnant les graphes de 23 h 49
Je voulais être certain qu'il n'y avait pas de résolution plus académique
Merci encore
Rudy
Annuler
connectez vous