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Equation du second degré.
Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp.
Exercice :
Un drapeau a la forme d'un triangle équilatéral.
Il est suspendu par deux de ses sommets en haut de mâts verticaux de 3 et 4 mètres.
Le 3ieme sommet affleure exactement le sol.
(voir figure)
1) Justifie que la longueur x du côté du drapeau vérifie l'équation 3x4-52x²=0
2) Déterminer la longueur du côté de ce drapeau.
Je ne sais pas comment répondre à la question 1)
***forum modifié en fonction du profil***
***Equation corrigée***
Salut,
On peut raisonnablement supposer que la figure comporte deux triangles rectangles : Pythagore n'est pas loin.
Par ailleurs, précise l'équation à trouver : le " ? " semble assez incongru.
Je vais devoir ajouter un inconnu ?
Bonjour,
il ne s'agit pas tellement de "résoudre" (ça fera l'objet de la question 2) mais "d'éliminer a et b" entre ces trois relations pour obtenir une seule relation avec uniquement x, la relation demandée.
et ça se fait comme dit Pirho "par substitution"
"remplacer dans 3" :
on évitera soigneusement d'introduire des racines carrés dans les calculs.
ça se fera donc en deux temps et c'est comme ça qu'apparaîtront les x4 de l'énoncé.
(c'était ma contribution : signaler ce petit problème là)
(1) : a²=x²-9
(2): b²=x²-16
(3): x²=(a+b)²+1=a²+b²+2ab+1
x²=(x²-16)²+(x²-9)²+2ab+1
=x⁴-32x²+16²+x⁴-18x²+9²+2ab+1
x²=2x⁴-50x²+337+2ab
Il y a toujours 2ab qui gêne.
D'accord
(1) : a=√(x²-9)
(2): b=√(x²-16)
(3): x²=(√(x²-9)+√(x²-16))²+1
x²=x²-9+2√[(x²-9)(x²-16)]+x²-16+1
=> 2√[(x²-9)(x²-16)]=-x²+24
=> 4(x⁴-16x²-9x²+144)=576-48x²+x⁴
=> x⁴-25x²+144=144-12x²+(1/4)x⁴
=>(3/4)x⁴-13x²=0
=> 3x⁴-52x²=0
Vous avez bien mentionné 0 qui était une solution possible pour une longueur mais non dans le cadre du problème
C'est bien ce que j'ai fais.
D'accord
(1) : a=√(x²-9)
(2): b=√(x²-16)
(3): x²=(√(x²-9))²+(√(x²-16))²+1
x²=x²-9+2√[(x²-9)
(x²-16)]+x²-16+1
=> 2√[(x²-9)(x²-16)]=-x²+24
=> 4(x⁴-16x²-9x²+144)=576-48x²+x⁴
=> x⁴-25x²+144=144-12x²+(1/4)x⁴
=>(3/4)x⁴-13x²=0
=> 3x⁴-52x²=0
JFF : on peut se passer de prendre des racines carrées :
...
hekla
Vous avez bien mentionné 0 qui était une solution possible pour une longueur mais non dans le cadre du problème
Oui mais je ne voulais pas réécrire une autre valeur de x impossibe.
Bonjour,
la figure avec curseur de hekla m'a surpris
en effet il est facile de construire directement une figure exacte sans avoir besoin d'ajuster quoi que ce soit avec un curseur.
B est quelque part sur la droite d, parallèle au sol à la distance 4
C est l'image de B dans la rotation de centre A d'angle -60°
donc C est quelque part sur l'image d' de d dans cette rotation
donc C est à l'intersection de cette droite d' avec le sol Δ
on complète alors la figure du triangle équilatéral ABC et du mat BK
en tirets bleu un indice pour calculer x sans aucune équation, mais avec un peu de trigo et de formules classiques sur les triangles :
x est le diamètre du cercle circonscrit à AHN, ce qui se calcule avec AlKashi, S = 1/2 a.b.sinC et S = abc/(4R) (notations usuelle dans un triangle)
ceci est bien entendu hors propos dans cet exo car la démarche pour calculer x est imposée par la succession des deux questions de l'énoncé :
1) établir une équation
2) la résoudre
en dehors de l'exo, comme déja dit, et donc juste "pour le fun"
Dans le triangle ABC: => S=
... du cercle circonscrit à AHN
3²=AN²+NH²-2×AN×NH×cos(ANC)
C'est pas dans ce sens là qu'il faut utiliser Al Kashi si on veut calculer HN !!
(de plus l'angle ANC ne fait même pas partie de ce triangle - et ANC est même un angle droit)
HN est le seul coté qu'on ne connaît pas dans le triangle AHN
AH = 3 par l'énoncé
AN = 1 vu que c'est la rotation de AM qui vaut 4 -3 = 1
et le seul angle connu de ce triangle est l'angle
donc HN² = ...
oui.
maintenant de ce triangle AHN on connaît tout ce qu'il faut
chacun de ses trois cotés, et l'angle NAH = 120°
calculer son aire par S = 1/2 a.b.sinC
c'est à dire ici S = 1/2 AH.AN. sin(NAH)
puis le rayon de son cercle circonscrit, R à partir de S = (AH.AN.NH)/(4R)
et donc son diamètre x = AC = 2R
je donne directement ces formules, valables pour tous les triangles, car je doute qu'elles soient au programme de nos jours. (et on est hors exo.)
si tu ne les a pas, et si tu es intéressé par leur démonstration je peux te guider.
(je rappelle qu'on fait du rab sur cet exo qui est déja terminé)
je me suis un peu fourvoyé avec cette histoire d'aire
en fait le calcul de l'aire est totalement inutile car dans tout triangle
2R = a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) (avec les notations usuelles)
(j'avais oublié le morceau "= 2R" de cette égalité)
donc ici, une fois qu'on a calculé HN par Al-Kashi, on enchaine immédiatement par
x = 2R = HN/sin(HAN)
preuve de la formule :
soit P le point diamétralement opposé à N, HNP est un triangle rectangle en H et donc
HN = NP sin(HPN)
et comme HPN = 180° - HAN, sin(HPN)= sin(HAN)
et si tu es intéressé par leur démonstration je peux te guider.
Oui je veux bien.
Vous parlez de la loi des sinus :
je parle certes de la "loi des sinus" mais sans oublier à quoi est égal ce rapport :
au diamètre du cercle circonscrit !!
ce que l'on oublie généralement (y compris par moi au début)
c'est ça qui sert,
l'égalité avec AH/sin(ANH) et AN/sin(AHN) ne sert à rien du tout ici
la démonstration je l'ai déja donnée :
soit P le point diamétralement opposé à N ...
elle est valable quel que soit le triangle et son cercle circonscrit.
et comme le choix du sommet utilisé dans cette démonstration est arbitraire, la même démonstration avec un autre sommet du triangles donne les deux autres rapports de la "loi des sinus" eux aussi égaux au diamètre du même cercle circonscrit
donc égaux entre eux. ce qui est une des démonstration de cette "loi".
nota :
(52/3) =2(13/3)
(ce que l'on obtenait directement avant d'introduire ce 2 sous le radical !)
voire même
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