Niveau Reprise d'études-Ter

équation et logique

Posté par
lebesgue 18-10-19 à 18:22

Bonjour,

Voilà, il y a quelques chose qui me chiffonne depuis longtemps, par exemple quand on part d'une équation toute simple comme $x^2$ =4, on écrit alors que $x^2=4\Leftrightarrow x=2\hspace{.25cm}ou\hspace{.25cm} x=-2$
donc si la proposition $x^2=4$ est vraie alors la proposition $x=2\hspace{.25cm}ou\hspace{.25cm} x=-2$ est vraie aussi.
Mais un "ou" est vrai dans deux cas :
- si l'une des deux propositions qu'il "lie" est vrai et pas l'autre
- mais également si les deux propositions sont vraies en même temps

Et là c'est le deuxième cas qui me chagrine, on ne peut pas avoir en même temps x=2 et x=-2; en effet x vaut soit 2 soit -2 mais ne peut pas avoir deux valeurs en même temps.

Pour résumé mon mal de tête pourquoi n'écrit on pas :
$x^2=4\Leftrightarrow x=2\hspace{.25cm}ou \hspace{.25cm}bien\hspace{.25cm} x=-2$
Le "ou" mathématique standard n'est il pas inclusif quand rien de particulier n'est précisé?

je suis sûr à 100% de faire une erreur de logique mais j'ai besoin qu'on me la pointe du doigt....

Posté par re : équation et logique 18-10-19 à 18:37

Bonsoir

x=2 ou x=-2 <=> x=4 revient à dresser ce genre de table de vérité

$(x\ne 2) ~\text{et}~ (x \ne -2) \quad\Rightarrow\quad (x^2\ne 4)$
$(x=2) ~\text{et}~ (x\ne -2) \quad\Rightarrow\quad (x^2=4)$
$(x\ne 2) ~\text{et}~ (x=-2)\quad\Rightarrow\quad (x^2=4)$
$(x=2) ~\text{et}~ (x=-2) \quad\Rightarrow\quad (x^2=4)$

la dernière ligne, même si elle paraît incohérente, est vraie, puisqu'une implication du type "A implique B" est vraie si A est toujours faux

Posté par re : équation et logique 18-10-19 à 18:39

Bonjour,
Non le ou n'est pas inclusif par défaut.
Par exemple dans R a et b 2 réels. a*b=0 ssi a=0 ou b=0
Bien sûr il peut y avoir les 2.
Je ne sais pas si cela répond à ta question ?

Posté par re : équation et logique 18-10-19 à 18:54

on n'est pas obligés de tester les 4 cas possibles de la table de vérité de l'opérateur "ou" pour que ça soit vrai, tant que ceux (les cas) qui existent donnent le bon résultat

voici une autre façon de t'en rendre compte :

$x^2=4 \quad\Leftrightarrow\quad (x=2)~\text{ou}~(x=-2)\quad\Leftrightarrow\quad x\in\{-2\}\cup\{2\}\quad\Leftrightarrow\quad x\in \{-2,2\}$

Posté par re : équation et logique 18-10-19 à 20:32

salut

un peu de sérieux !!!

1/ ou bien n'a aucune différence avec ou ...

2/ le ou mathématique est inclusif : l'un et pas l'autre ou l'autre et l'un ou l'un et l'autre

3/ dans l'écriture x = 2 ou x = -2 il est évident que le ou devient exclusif puisque x = 2 et x = -2 est fausse

4/ que penses-tu de la proposition x < 5 ou x > -5 ?

Posté par re : équation et logique 18-10-19 à 22:09

Merci pour vos réponses.

Par "ou bien", je voulais maladroitement parler d'un "ou" exclusif.

Donc si je comprends bien, le "ou" mathématique peut parfois être exclusif dans certains contextes même si son "exclusivité" n'est pas précisé?

Posté par re : équation et logique 18-10-19 à 23:38

il le devient par la force des choses ...

x = 2 et x= -2 s'excluent immédiatement mutuellement ... ce qui n'est pas le cas dans 4/ ...

ce que tu retrouves aussi en résolvant l'inéquation (x - 1)(x + 1) > 0 par exemple ... (les deux issues s'excluent mutuellement aussi ...)

Posté par re : équation et logique 18-10-19 à 23:43

salut,
mes vieux maîtres me disaient toujours:
"au lycee on ne devrait utiliser que le ou exclusif"
En general il vaut mieux oralement distinguer "l'un ou l'autre ou les 2" et "l'un ou bien l'autre".

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