Niveau Lycéen curieux

Equation et somme de ses racines

Posté par
Medhs 11-07-23 à 10:48

Bonjour pouvais vous m'aider dans cette exercice:
On considére l'équation (E): x²+x-1=0
Soit et les deux solutions de (E).
On pose:S1=+, S2=²+², ...,Sn=^n + ^n
1)montrer que: Sn+2 + Sn+1 = Sn
2)calculer S2,S3,...,S8 et déduire que $(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^8 +(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^8 =47$

Equation et somme de ses racines

Posté par re : Equation et somme de ses racines 11-07-23 à 11:19

Bonjour,
Tu as des boutons sous la zone de saisie pour mettre en exposant et en indice : "X₂" et "X²".

Pour 1), chercher d'abord à exprimer S₂ en fonction de S₁ peut peut-être aider.

Posté par re : Equation et somme de ses racines 11-07-23 à 12:01

Calcule la somme $S_{n+2} + S_{n+1}$

Essaye de te ramener le plus possible à $S_n$

Utilise la propriété vérifiée par alpha et beta

Par exemple $\alpha^2 + \alpha = 1$

Posté par re : Equation et somme de ses racines 11-07-23 à 18:34

Un petit coup de pouce supplémentaire :
En notant a et b les racines de x²+x-1 = 0 car plus facile à écrire que et .
Comme conseillé par Noctyle, écrire à quoi est égal S_n+2 + S_n+1.
Puis factoriser les termes où il y a du a et factoriser les termes où il y a du b.

Posté par re : Equation et somme de ses racines 11-07-23 à 20:45

salut

autre coup de pouce :

$x^2 + x - 1 = 0 \Longrightarrow x^2 = 1 - x \Longrightarrow x^3 = x - x^2 \Longrightarrow x^3 = x - (1 - x) \Longrightarrow x^3 = 2x - 1$

à appliquer à a et b ...

Posté par re : Equation et somme de ses racines 12-07-23 à 22:38

Bonjour, je suis désolé pour le retard(probléme d internet) voici ma réponse:
Ona $x^2+x-1=0 \rightarrow x²+x=1$
Puisque alpha et beta sont les solution de (E) donc(en va remplacer x par alpha et beta dans l equation) :
²+ = 1
²+ = 1
Ona S_n+2+S_n+1
= (^n+2) + (^n+2 )+()^n+1)+ (^n+1)= $\alpha ^n ×\alpha²+ \beta ^n×\beta ²+\alpha ^n×\alpha +\beta^n×\beta$
$\alpha^n(\alpha ^2+\alpha )+\beta ^n(\beta ²+\beta)$
= $\alpha ^n+\beta ^n$
Merci beaucoup pour votre aide
(Pour la dernier question il est simple j'ai répondu sur elle)