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equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x)

Posté par
alb12 27-05-23 à 18:57

Salut,

$Etude de l'équation fonctionnelle $f(x+1)+f(x-1)=kf(x)

Sujet ouvert: les hypothèses sur f et k sont laissées à l'initiative du lecteur.

Blankez

Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 27-05-23 à 21:00

Bonsoir,
Une solution évidente :

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Sinon, j'ai cherché des fonctions polynômes :
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Posté par
jarod128re : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 27-05-23 à 23:58

Bonsoir.

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Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 28-05-23 à 00:16

Bonsoir.

Une idée à développer (peut-être)

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Posté par
fabo34re : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 28-05-23 à 16:15

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Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 28-05-23 à 16:21

Bravo fabo34 :

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Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 28-05-23 à 17:04

il me semble qu'il y a aussi des solutions \mathcal C^{\infty} pour |k|\leqslant2 :

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Posté par
alb12re : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 30-05-23 à 13:47

Quelques résultats

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Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 31-05-23 à 07:48

Bonjour,
Une manière de trouver des solutions quand \; k < -2 \; :

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Posté par
alb12re : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 31-05-23 à 11:35

exemple de fonctions solutions
A confirmer (calculs effectués avec un logiciel)

 Cliquez pour afficher

D'où peut-être un résultat démontrable à partir de l'équation fonctionnelle:
si -2<=k<2 alors f est périodique

Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 31-05-23 à 18:02

Bonsoir,
Je confirme l'exemple de 11h35

Posté par
alb12re : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 31-05-23 à 19:26

Merci pour la confirmation

Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 01-06-23 à 18:28

Il me semble qu'il y a un lien entre les messages de elhor_abdelali le 28 à 17h04 et celui de alb12 le 31 à 11h35

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Posté par
alb12re : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 02-06-23 à 19:07

résumé de mes exemples solutions.

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Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 02-06-23 à 20:40

Bonsoir,
Si on ne s'impose rien sur les solutions en dehors de l'équation, on peut construire des fonctions solutions à partir de n'importe quelle fonction g définie sur un intervalle d'amplitude 2.

 Cliquez pour afficher
En espérant ne pas avoir écrit trop de bêtises

Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 06-06-23 à 10:32

Je propose une solution p fois dérivable :

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Posté par
alb12re : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 06-06-23 à 15:43

Extra
Exemple1
k=sqrt(2). Dans ce cas f est periodique de periode 8.
Initialisation: g(x)=x^2

\\ \left(\begin{array}{cc}1&x^{2}\\2&x^{2} \sqrt{2}-x^{2}-2 x \sqrt{2}+4 x+\sqrt{2}-4\\3&-x^{2} \sqrt{2}+x^{2}+6 x \sqrt{2}-4 x-9 \sqrt{2}+4\\4&-x^{2}+8 x-16\\5&-x^{2}+8 x-16\\6&-x^{2} \sqrt{2}+x^{2}+10 x \sqrt{2}-12 x-25 \sqrt{2}+36\\7&x^{2} \sqrt{2}-x^{2}-14 x \sqrt{2}+12 x+49 \sqrt{2}-36\\8&x^{2}-16 x+64\\9&x^{2}-16 x+64\end{array}\right) \\

equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x)

Posté par
alb12re : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 06-06-23 à 16:11

Génial
Exemple2
k=sqrt(2). Dans ce cas f est periodique de periode 8.
Initialisation: g(x)=(x*(x-1)*(x+1))^3

\\ \left(\begin{array}{cc}1&\left(x \left(x-1\right) \left(x+1\right)\right)^{3}\\2&x^{9} \sqrt{2}-x^{9}-9 x^{8} \sqrt{2}+18 x^{8}+33 x^{7} \sqrt{2}-141 x^{7}-63 x^{6} \sqrt{2}+630 x^{6}+66 x^{5} \sqrt{2}-1767 x^{5}-36 x^{4} \sqrt{2}+3222 x^{4}+8 x^{3} \sqrt{2}-3815 x^{3}+2826 x^{2}-1188 x+216\\3&-x^{9} \sqrt{2}+x^{9}+27 x^{8} \sqrt{2}-18 x^{8}-321 x^{7} \sqrt{2}+141 x^{7}+2205 x^{6} \sqrt{2}-630 x^{6}-9642 x^{5} \sqrt{2}+1767 x^{5}+27828 x^{4} \sqrt{2}-3222 x^{4}-53000 x^{3} \sqrt{2}+3815 x^{3}+64224 x^{2} \sqrt{2}-2826 x^{2}-44928 x \sqrt{2}+1188 x+13824 \sqrt{2}-216\\4&-x^{9}+36 x^{8}-573 x^{7}+5292 x^{6}-31251 x^{5}+122364 x^{4}-317663 x^{3}+527220 x^{2}-507600 x+216000\\5&-x^{9}+36 x^{8}-573 x^{7}+5292 x^{6}-31251 x^{5}+122364 x^{4}-317663 x^{3}+527220 x^{2}-507600 x+216000\\6&-x^{9} \sqrt{2}+x^{9}+45 x^{8} \sqrt{2}-54 x^{8}-897 x^{7} \sqrt{2}+1293 x^{7}+10395 x^{6} \sqrt{2}-18018 x^{6}-77178 x^{5} \sqrt{2}+161031 x^{5}+380700 x^{4} \sqrt{2}-957186 x^{4}-1247624 x^{3} \sqrt{2}+3784103 x^{3}+2619360 x^{2} \sqrt{2}-9594270 x^{2}-3196800 x \sqrt{2}+14156100 x+1728000 \sqrt{2}-9261000\\7&x^{9} \sqrt{2}-x^{9}-63 x^{8} \sqrt{2}+54 x^{8}+1761 x^{7} \sqrt{2}-1293 x^{7}-28665 x^{6} \sqrt{2}+18018 x^{6}+299442 x^{5} \sqrt{2}-161031 x^{5}-2081772 x^{4} \sqrt{2}+957186 x^{4}+9631880 x^{3} \sqrt{2}-3784103 x^{3}-28598976 x^{2} \sqrt{2}+9594270 x^{2}+49448448 x \sqrt{2}-14156100 x-37933056 \sqrt{2}+9261000\\8&x^{9}-72 x^{8}+2301 x^{7}-42840 x^{6}+512067 x^{5}-4075128 x^{4}+21591935 x^{3}-73448424 x^{2}+145551168 x-128024064\\9&x^{9}-72 x^{8}+2301 x^{7}-42840 x^{6}+512067 x^{5}-4075128 x^{4}+21591935 x^{3}-73448424 x^{2}+145551168 x-128024064\end{array}\right) \\

equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x)

Posté par
alb12re : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 06-06-23 à 16:31

Exemple3
k=sqrt(2). Dans ce cas f est periodique de periode 8.
f(x)=3*cos(pi/4*x)-2*sin(pi/4*x)

equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 06-06-23 à 17:51

Joli l'exemple 2

Dans la cas général, on a f(x+4) = k(k2-2)f(x+1) + (1-k2)f(x).
Donc si k = 2, alors f(x+4) = -f(x), et la fonction f est de période 8.

Posté par
alb12re : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 07-06-23 à 16:13

oui
Correction Exemple2
C'est mieux sous forme factorisée.
\\ \left(\begin{array}{cc}1&\left(x \left(x-1\right) \left(x+1\right)\right)^{3}\\2&\left(\sqrt{2}-1\right) \left(x-2\right)^{3} \left(x-1\right)^{3} \left(x^{3}+\left(9 \sqrt{2}+9\right) x^{2}+\left(-27 \sqrt{2}-27\right) x+27 \sqrt{2}+27\right)\\3&\left(-\sqrt{2}+1\right) \left(x-3\right)^{3} \left(x-2\right)^{3} \left(x^{3}+\left(-9 \sqrt{2}-21\right) x^{2}+\left(45 \sqrt{2}+93\right) x-63 \sqrt{2}-127\right)\\4&-\left(x-5\right)^{3} \left(x-4\right)^{3} \left(x-3\right)^{3}\\5&-\left(x-5\right)^{3} \left(x-4\right)^{3} \left(x-3\right)^{3}\\6&\left(-\sqrt{2}+1\right) \left(x-6\right)^{3} \left(x-5\right)^{3} \left(x^{3}+\left(9 \sqrt{2}-3\right) x^{2}+\left(-99 \sqrt{2}-51\right) x+279 \sqrt{2}+215\right)\\7&\left(\sqrt{2}-1\right) \left(x-7\right)^{3} \left(x-6\right)^{3} \left(x^{3}+\left(-9 \sqrt{2}-33\right) x^{2}+\left(117 \sqrt{2}+309\right) x-387 \sqrt{2}-899\right)\\8&\left(x-9\right)^{3} \left(x-8\right)^{3} \left(x-7\right)^{3}\\9&\left(x-9\right)^{3} \left(x-8\right)^{3} \left(x-7\right)^{3}\end{array}\right) \\

Posté par
alb12re : equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x) 08-06-23 à 15:56

Exemple4
k=sqrt(3) (f est donc periodique de periode 12)
initialisation avec g(x)=sin(x)

\\ \left(\begin{array}{cc}1&\sin x\\2&\sqrt{3} \sin \left(x-1\right)-\sin \left(x-2\right)\\3&2 \sin \left(x-2\right)-\sqrt{3} \sin \left(x-3\right)\\4&\sqrt{3} \sin \left(x-3\right)-2 \sin \left(x-4\right)\\5&\sin \left(x-4\right)-\sqrt{3} \sin \left(x-5\right)\\6&-\sin \left(x-6\right)\\7&-\sin \left(x-6\right)\\8&-\sqrt{3} \sin \left(x-7\right)+\sin \left(x-8\right)\\9&-2 \sin \left(x-8\right)+\sqrt{3} \sin \left(x-9\right)\\10&2 \sin \left(x-10\right)-\sqrt{3} \sin \left(x-9\right)\\11&-\sin \left(x-10\right)+\sqrt{3} \sin \left(x-11\right)\\12&\sin \left(x-12\right)\\13&\sin \left(x-12\right)\end{array}\right) \\

equation f(x+1)+f(x-1)=k*f(x)


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