Equation fonctionnelle

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Equation fonctionnelle
Posté par 
xtasx  21-07-07 à 04:25
Bonjour à tous,

Voici une autre équation fonctionnelle (OIM 99).

Déterminer toutes les fonctions de IR dans IR, vérifiant :

Bonne recherche !
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 14:05
Salut 

J'essaye dans l'après-midi !
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 14:16
J'ai pas pu m'empêcher de commencer 

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J'ai pas encore réussi à prouver que  est surjective, mais si elle l'est (ce que je ne doute pas ) alors en posant  on a :

Donc l'application  avec k constant est à suspecter 

L'étape d'après sera de déterminer  mais avant je vais déjeuner 
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 14:25
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Oh ben si pour la surjectivité il suffit de fixer y, ainsi le membre de droite décrit R quand x prend toutes les valeurs réelles, il en va donc de même pour le membre de gauche, donc f est surjective. C'est donc OK je pense pour ce que j'ai fait dans mon précédent message 
 Posté par 
veledare : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 14:53
bonjour

>>infophile
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si f était surjective on trouverait bien le résultat que tu donnes mais x [1+f(0)-x²]/2 n'est pas surjective f ne prend que des valeurs(1+f(0))/2 ça marche pour la restriction de f à Imf sauf erreur

édit Océane
 Posté par 
veledare : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 14:55
désolée,il y a un crochet mal placé,je suis trop maladroite est ce que cela peu s'arranger merci
 Posté par 
veledare : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 14:56
cela peut s'arranger
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 14:56
veleda >

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Ah oui bien vu ! Mais c'est la seule application candidate que je trouve 

Je vais y réfléchir.
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 15:03
veleda >

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Je vois pas où j'ai pu me planter, f est bien surjective d'après ce que j'ai dit non ? Et c'est pas grave si on se limite à la restriction si ?

Merci 
 Posté par 
veledare : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 15:47
>>infopphile
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j'avais fait la même hypothèse que toi donc j'ai trouvé la même expression pour fmais on a supposé qu'elle était surjective et on la trouve non surjective donc  l'expression trouvée n'est pas bonne pour un x >(1+f(0))/2 car dans ce cas il n'existe pas  y de R tel que x=f(y)
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 16:04
veleda >

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A mon avis on ne peut pas trouver une application surjective de R dans R, faut restreindre l'ensemble d'arrivée et là ça fonctionne 

Reste à trouver f(0) mais je ferais ça ce soir.
 Posté par 
veledare : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 16:21
>>infophile
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si 0 est dans l'image Imf on a f(0)=1  non?
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 16:23
veleda >

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Je sais pas je vais faire les calculs je te redis ensuite 
 Posté par 
veledare : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 16:25
>>infophile
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bon courage je vais prendre l'air
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 16:30
veleda >

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Oui je trouve comme toi f(0)=1 donc la seule application qui conviendrait serait  qui ne serait pas surjective sur R entier. A confirmer 
 Posté par 
xtasxre : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 17:07
Bonjour à vous deux :

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Je ne comprends pas trop votre problème pour la surjectivité : ce que je veux dire c'est que vous pouvez toujours poser x = f(y) puisque y est déterminé, peut importe que f soit surjective ou non; ce que vous ne pourriez pas poser, c'est par exemple f(x) = y
 Posté par 
xtasxre : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 17:12
Bon je vais préciser un peu :

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Ce qu'a fait infophile dans son premier post permet de déterminer f sur son image (enfin à f(0) près).
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 17:15
Ok merci xtasx 

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Donc c'est réglé là non ?
 Posté par 
veledare : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 17:24
bonjour xtass

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justement on a utilisé :zImfxR tel que z=f(x)

pour en déduire f(z)=[1+f(0)-z²]/2

bien sur on peut poser pour tout y de R x=f(y)

on en déduit f(0)=2f(f(y))+(f(y))²-1 soit 2f(f(y))=1+f(0)-(f(y))² et c'est là que l'on utilise ce que j'ai écrit plus haut
 Posté par 
veledare : Equation fonctionnelle  21-07-07 à 18:49
>>xtasx
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je n'avais pas vu ton post de 17h12 donc on est d'accord ou presque on ne peut pas supposer que f est une surjection de R sur R on se place sur Imf.

pour qui connait les suites récurrentes d'ordre deux l'autre équtaion fonctionnelle est plus simple
 Posté par 
xtasxre : Equation fonctionnelle  22-07-07 à 02:09
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Non justement ce n'est pas du tout réglé : f n'est déterminée que sur sa propre image pour le moment : il faut la déterminer sur IR tout entier.

C'est comme si je te demande de me donner la fonction exp de IR dans IR, et tu ne me la donnes que sur Im(exp), ie de IR+ dans IR (sans me la donner sur IR-).
 Posté par 
veledare : Equation fonctionnelle  22-07-07 à 06:43
bonjour xtasx

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décidément nous avons du mal à nous comprendre :j'ai bien dit à infophile que l'expression qu'il trouve ne peut concerner que la restriction de f à Imf
 Posté par 
xtasxre : Equation fonctionnelle  22-07-07 à 11:01
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Oui oui je suis d'accord avec toi, je le confirmais juste à infophile 
 Posté par 
xtasxre : Equation fonctionnelle  23-07-07 à 00:22
Vous avez abandonné ? 
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  23-07-07 à 00:33
Ah oui zut je l'avais oubliée celle-ci, je m'y remets 
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  23-07-07 à 00:35
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Donc pour le moment on sait que sur Imf f(x)=-x²/2 + [f(0)+1]/2

Reste à voir si ça marche sur R ? 
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  23-07-07 à 00:52
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Bon ok on est restreint à Imf mais si on prend deux éléments de Imf et qu'on les soustrait on se retrouve dans R non ?

Déjà f(x)=-x²/2+[f(0)+1]/2 avec x=0 (est-il dans Imf aussi ? ) 2f(0)=f(0)+1 <=> f(0)=1.

Mais bon comme on sait pas si le singleton {0} est inclus dans Imf on va pas prendre f(0)=1 tout de suite (même si je le sens bien )

Mais f(x)-f(x')=-x²/2 + x'²/2 = (x'²-x²)/2 qui est dans bien dans R (sauf erreur).

Euh j'avais une idée derrière la tête tout à l'heure mais je m'en souviens plus 

 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  23-07-07 à 00:54
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Euh je viens de me relire je dis n'importe quoi rien ne dit que (x'²-x²)/2 est dans R 

Bon je cherche autre chose...
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  23-07-07 à 01:27
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Ah ça y est voila ce que je voulais faire : on pose y=0

Ainsi f(x-f(0))-f(x)=f(f(0))+xf(0)-1

Donc en faisant varier x dans R entier le membre de droite décrit R donc de même pour le membre de gauche qui est composé de deux termes de Im f. Donc les éléments de Imf peuvent générer R (ça se dit ? ).

Du coup si on prend x et y dans Imf et qu'on pose z=x-y alors z est dans R et par conséquent f(z)=f(x-y)=f(x)+f(y)+xy-1=-x²/2+[f(0)+1]/2-y²/2+[f(0)+1]/2+xy-1=f(0)+1+[-x²-y²+2xy]/2-1=f(0)-(x-y)²/2=f(0)-z²/2

Donc comme f(z)=-z²/2 + f(0) et qu'avec veleda on a trouvé f(x)=-x²/2+[f(0)+1]/2 alors par identification on a bien f(0)=1.

Donc il me semble que là on a bien l'unique fonction qui vérifie l'équation fonctionnelle et ceci pour tout x réel ?
 Posté par 
xtasxre : Equation fonctionnelle  23-07-07 à 01:40
Déjà pour que le membre de droite décrive IR, il faut f(0) différent de 0, et vous ne l'avez montré que dans le cas où 0 appartient à l'image de f, non ? (Bon oui de toute façon ce n'est pas le plus dur à montrer  )

Pour ta question, disons que l'ensemble Im(f) muni de la soustraction engendre IR. Par contre cet ensemble ne semble pas avoir (a priori) de structure (puisqu'on ne connaît pas encore f. 

En tout cas à part ce petit manque sur f(0) différent de 0, tout me semble correct !
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  23-07-07 à 02:39
Ok alors supposons que f(0)=0

Alors en prenant y=0 on a :

f(x-f(0))=f(f(0))+xf(0)+f(x)-1

Alors f(0)=0 donne :

f(x)=f(x)-1 soit 0=-1 absurde

Donc f(0) est différent de 0.

C'est bon ? 
 Posté par 
xtasxre : Equation fonctionnelle  23-07-07 à 03:23
Oui 
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  23-07-07 à 03:25
Cool merci pour l'exo 
 Posté par 
veledare : Equation fonctionnelle  23-07-07 à 09:55
bonjour

>>infophile
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je ne suis pas du tout sûre de comprendre ton post de 1h27

 x et y dans imf>x-y dans imf  je ne suis peut être pas bien réveillée
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  23-07-07 à 15:06
Bonjour 

veleda >

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Non x et y dans Im(f) => x-y dans R
 Posté par 
veledare : Equation fonctionnelle  23-07-07 à 19:43
>>infophile

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en fait tu utilises le fait que pour tout z de R on peut trouver (u,v) de R² tel que z=f(u)-f(v) mais tu dis :soient x et y deux éléments de Imf alors z=x-y est un réel qu'est ce qu'il pourrait être d'autre ?

à la fin de ta démonstration c'est parce que z est un réel quelconque que tu peux le supposer dans Imf et faire l'dentification 
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  23-07-07 à 20:02
veleda >

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Oui je me suis mal exprimé pardon 
 Posté par 
veledare : Equation fonctionnelle  23-07-07 à 20:07
infophile
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je t'en prie,ce n'est pas une crtique mais simplement une remarque amicale
 Posté par 
infophilere : Equation fonctionnelle  23-07-07 à 20:08
veleda >

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Aucun problème, c'est grâce à ce type de remarques qu'on progresse 

Je te remercie ! 
  Posté par 
alainpaulre : Equation fonctionnelle  25-08-11 à 11:16
Bonjour ,

J'aimerais aborder cette équation.

f(x-f(y)) = f(f(y))+xf(y)+f(x)-1 

Degré d'itération:nous rencontrons f et f^[2]

Signes:nous ne retrouvons pas le premier signe moins

du membre de gauche dans le second.

f n'est pas une fonction impaire.

Valeurs particulières:

x=0 =>(f(fy)-f(-f(y)))/2=(1-f(0))/2 ,

la partie impaire d'une fonction ne peut être constante:

f(0)=1 .

f(y)=x donne f(x)=1-x^2/2 .

existe-t'il d'autres solutions réelles continues?

Alain