Niveau exercices

Equation fonctionnelle (difficile)

Posté par
xtasx 21-07-07 à 03:52

Bonjour à tous,

Voici une nouvelle équation fonctionnelle qui (je pense) est assez difficile.

Trouver toutes les fonctions continues de IR dans IR telles que :

$2$\forall{x}\in\mathbb{R}, f(x+2) - 7f(x+1) + 10f(x) = 0$

Bonne recherche !

Posté par re : Equation fonctionnelle (difficile) 21-07-07 à 11:25

A vue de nez, j'aurais dit une fonction du type

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J'ai juste?

Posté par re : Equation fonctionnelle (difficile) 21-07-07 à 12:52

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Posté par re : Equation fonctionnelle (difficile) 21-07-07 à 13:24

Pour ça, il faut savoir résoudre les suites récurrentes linéaires d'ordre 2.

Pour $x \in [0,1] \textrm{ on pose} \,\, U_0(x)=f(x),\, U_1(x)=f(x+1), \, U_{n+2}(x) = 7U_{n+1}(x) - 10U_n(x), \,\, n \in Z$

Ainsi $U_n(x)=f(x+n)$

On résoud la récurrence on trouve que

$U_n(x)= g(x).2^x + h(x).5^x$

g et h sont continue d'après la continuité de la fonction,

et en utilisant la relation première, on trouve que g et h sont 1-périodique.