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Equation générale d'une ellipse (conique)

Posté par
NervaL928 09-08-14 à 21:38

Bonjour bonjour,
Existe-t-il une équation du type $Ax^2+By^2+\theta xy+Cx+Dx=\rho^2$ générant l'ellipse de foyers F et F' ayant leurs coordonnées, avec un certain angle (caractérisé par $\theta$ ), un rayon etc... ?
Pour être plus clair, peut-on, tout comme les cercles sont du type $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=\rho^2$ de centre $\Omega (\alpha ; \beta)$ et de rayon $\rho$ , définir une ellipse par les coordonnées de ses deux foyers $F(a_1;b_1)$ et $F'(a_2;b_2)$ et le rayon de l'ellipse (la directrice je crois ?)
J'ai cherché sur le net, puis ne trouvant rien, par moi-même, mais sans grand succès hélàs... Je m'en remets donc à vous ! Merci d'avance

Posté par re : Equation générale d'une ellipse (conique) 09-08-14 à 22:22

Salut,

Bon déjà ne confondons pas tout.
Tu parles de "rayon de l'ellipse" ce qui n'a aucun sens. On parle du rayon d'un cercle car c'est une longueur unique pour un cercle donné. Pour une ellipse, on voit très clairement que la longueur de son grand axe et de son petit axe ne sont pas du tout identique, il n'y a donc pas lieu de parler de rayon d'une ellipse.

La directrice c'est autre chose.
On peut définir de nombreuses façons l'ellipse, voici quelques exemples :

- une façon analytique en passant par une équation, c'est peut être ce que tu cherches d'ailleurs.
On peut montrer que pour tout ellipse, on peut trouver un repère dans lequel l'ellipse est décrite par l'équation : (x/a)² + (y/b)² = 1 avec a la longueur du demi grand axe et b la longueur du demi petit axe. D'ailleurs ce repère est celui basé sur ces demi axes citées.

- une façon géométrique. On part alors des deux foyers et on trace le lieu des points à égale distance de ces deux points.

- une autre façon géométrique qui est cette fois de voir l'ellipse comme une conique en utilisant la notion d'excentricité, de directrice et de foyer.
On définit une conique dans le plan en donnant un foyer F, qui est un point, une directrice (d) qui est une droite et l'excentricité e, qui est un nombre réel positif.
Une conique est le lieu des points M tels quel d(M,F) = e*d(M,(d)) (d désignant la distance)
Le lieu des points est une ellipse si 0 < e < 1.

En espérant avoir éclairci tout ça et ne pas avoir dit de grosses bêtises °^°

Posté par re : Equation générale d'une ellipse (conique) 09-08-14 à 22:40

Oh, merci beaucoup pour ces éclaircissements, Wataru !
Oui, j'ai rencontré au cours de mes recherches ces différentes façons de décrire l'ellipse, et oui, dans le mille, c'est la forme analytique qui m'intéresse !
J'ai un peu regardé la forme dont tu as parlé, et c'est parfait, car on peut choisir "l'étalement" de l'ellipse (son ensemble de définition et l'ensemble sur lequel elle envoie).
Par contre, je sais qu'avant, j'utilisais des équations du type $y=arcsin(x^2)-x$ pour "incliner" les ellipses (effectuer une rotation). Ici, c'est en ajoutant $k \times xy \empty (k \in \mathbb{R})$ , mais quel lien entre k et un certain angle ? En plus, j'ai remarqué que plus k est grand (en valeur absolue), et plus la longueur des deux axes sera grande... Embêtant ^^"