bonjour !

sauf erreur.

pour le cas x, y et z non nuls :

(2) ==> x = 4/((y+1)z)

(3) ==> (z+1)y *  4/((y+1)z) = 4
(z+1)y/((y+1)z) = 1
(yz + y) / (yz+z) = 1
y=z

avec 2 variables, la suite me parait plus simple
(je n'ai pas le temps de poursuivre l'étude)
bonne journée !

Bonjour !
Par différence des deux dernières : .
On a certainement .

Pour par élimination de on a et les seules solutions acceptables seraient .

Il semble donc que l'unique solution serait  

Bonjour,

Pourquoi éliminer la solution ?

Parce que j'avais fait une erreur dans la vérification !
Je suis d'accord, deux solutions...

Bonjour,

Merci d'avoir répondu.

Comment peut-on être sûr qu'il n'y a que 2 solutions?

J'ouvre un autre mail pour une autre piste.

Alain

Bonjour,

Je repends l'exercice précédent;c'est-à-dire les nombres réels x,y,z vérifiant:



Les nombres y et z peuvent commuter sans que change l'ensemble du système ,c'est pour cela que je parle de symétrie entre y et z ;comment en déduire que y=z?

Alain

*** message déplacé ***

Des équations 2 et 3,  on en déduit que x,y et z sont non nuls .
Ensuite, on a donc d'où ...
Dans le cas général c'est évidemment faux

*** message déplacé ***

Dans le problème (déjà) posé j'avais dit qu'une condition nécessaire se trouvait en faisant la différence des deux dernières équations.
Donc etc...
Je ne vois pas pourquoi tu reposes ce problème !
En quoi les réponses données ne te plaisent pas ?

Et surtout, tu es en train de faire du multi-post !

*** message déplacé ***

Bon après-midi,

Vos réponses m'ont orienté sur l'idée d'une approche différente basée
sur la symétrie .

Le changement y<->z  laisse invariant le système d'équations ,peut-on
ICI en déduire que  y=z?  

Voilà ce que j'aimerais savoir.


Alain

*** message déplacé ***

Bon début d'après midi,
Je détaille :
En notant (1), (2) et (3) les équations du système, (2)-(3) donne x(z-y) = 0 .
D'après (2) ou (3) on a x 0 ; donc z = y .
(1)-(2) donne alors y²-xy = 8 .

D'après (1) ou (3) on a y0 ; donc x = y - 8/y .
En remplaçant dans (1) : y³ + y² - 8y -12 = 0
Se factorise : (y+2)²(y-3) = 0 .
A partir de là, on voit facilement qu'il n'y a que 2 solutions

Bonjour,
Voici un système de 2 équations :
xy =8
x+y = 6
Ses solutions ne vérifient pas x= y

*** message déplacé ***

Bonjour,
Ayant lu la solution de luzak, il n'y a aucune raison de changer les résultats
x=1/3 ,  y=3   , z=3

*** message déplacé ***

Bon après-midi,

Merci pour cette synthèse claire.

Alain

Bon après-midi,

"un système de 2 équations :
xy =8
x+y = 6 "

Ses solutions bien que x et y     ' commutent'  ne vérifient pas  x= y.
Bien sûr.

Dans le cas donné un système de 3 équations de 3 variables ,2 commutent en laissant le
système inchangé ;y-aurait' il une raison pour laquelle les deux  variables interchangeables soient égales?

Amicalement,

Alain

Non, seulement ceci :
Si (a,b,c) est une solution alors (b,a,c) aussi .

salut

Bonjour,

"ce système est bien différent du précédent ... (et pas parce qu'il n'y a que deux variables mais parce qu' une des relations est affine alors que dans le système 3 * 3 toutes les équations ont lieu avec des produits ..."

C'est évident!

JE NOTE;ici,le système de 3 équations,3 inconnues  est globalement invariant pour y<=>z ,
la ligne 1 n'est pas modifiée ,
les lignes 2 et 3 échangées.

Cette propriété ne conduit apparemment à aucune solution.  

Alain

Bonjour luzak,
Il y a plusieurs interprétations pour une même phrase.
Il aurait été plus clair d'écrire :
Cette propriété ne conduit pas apparemment à des solutions.
Ou :
Apparemment cette propriété ne permet pas de trouver des solutions.

Bon après-midi,


Je fais le point:

1°D'abord je pose un énoncé dont la solution m'échappe tout à fait,
2°des réponses satisfaisantes sont apportées:,

****
3° la réflexion et l'examen des solutions me montrent que les variables y et z sont
interchangeables et que y<->z laisse le système entier :3 équations de 3 variables
INVARIANT.

D'où l'idée d'utiliser,si possible ce fait,pour résoudre le système donné;
il s'agit juste d'une idée(je n'ai rien en main) .

D'avance merci,

Alain

P.S Il Il n'y a pas eu multipostage,mais changement de ligne après résolution du problème.

Si ça ( ton post du 22/08 10:02)

Bonsoir,

Tu peux oublier le PS ,mais vois-tu mon intention?

D'une manière générale :peut-on utiliser les symétries pour se
simplifier la vie (certains calculs algébriques) si oui, de quelle manière?

Alain

Bonsoir,

Ma question est précise et relative au seul énoncé donnés(voir précédents mails) à * luzak*j''ai  donné,si le problème
particulier trouver une issue . . .

Tu veux savoir si , en ayant observer une symétrie dans les solutions , est-ce qu'on peut , dans le cas présenté ici, déduire que y=z , juste en méditant sur le système ?
Alors la réponse est non . Il faut faire des manipulations algébriques simples pour pouvoir le déduire , et ces manipulations ont été présenté dans ce fil ...

Actualité...
Dans un hebdomadaire il est posé x+y= xy  avec des entiers ...cela ressemble ,mais
le pluriel est de trop

C'est une subtilité
Quand on trouve "deux" entiers, ils sont ....

>Zrun
Plusieurs? genre (a,a/(a-1))  entiers ?

Bonjour,

Je me demande comment le 'problèmiste'  a construit son énoncé;

Déséquilibrer  un système circulaire particulier:

(x+1)yz = a
(y+1)zx = a
(z+1)xy = a   ; a,x,y,z  réels   a devient b ,ba

OU ?! . . .


Alain

J'avais exclus 0 et comme 2 est seul......