Bonjour,
Aidez moi svp à résoudre l'equation suivante :
On considère (E) : 1/4 * x² - (m+1)*x + m = 0
où m est un réel donné
1/ Donner les valeurs de m pour que (E) ait 2 solutions distinctes.
2/ On suppose que m > 0
a) Montrer que (E) admet deux solutions différentes de même signe.
b) Préciser le signe de ces racines.
3/ Peut-on avoir des solutions opposées?
Merci de votre aide
Bonjour
As-tu vu le discriminant ? Car sinon a part en passant par la forme canonique (forme qui n'est vue qu'en premiere comme le discriminant ) je ne vois pas trop comment répondre rien qu'a la premiére question
Jord
Re
Je précise que je suis du MAROC et qu'on a vu les discriminants (nos programmes sont un peu differents)
Merci encore une fois
Je precise :
(E) : 1/4 * m*x² - (m+1)*x + m = 0
je m'excuse de l'erreur
Si tu as vu les discriminants, tu peux calculer =b²+4ac avec a=m/4 , b=-m-1 , c=m. Puis pour que (E) ait 2 solutions distinctes il faut que
>0, donc tu as une condition sur m.
1)
Soit Delta le discriminant de l'équation (1/4).m.x² - (m+1)*x + m = 0
Delta = (m+1)² - 4(1/4)m.m
Delta = m²+2m+1 - m²
Delta = 2m+1
(E) a 2 solutions distinctes si Delta > 0
donc pour m > -1/2
Mais pour avoir 2 solutions distinctes,n il faut aussi que l'ééquation soit du second degré -> que m soit différent de 0.
Finalement:
Pour avoir 2 solutions distinctes pour (E), il faut que m appartienne à ]-1/2 ; 0[ U ]0 ; oo[
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2)
Si m > 0, 2m + 1 > 0 -> Delta > 0 et (E) a 2 solutions distinctes.
Soit x1 et x2 ces 2 solutions.
lim(x -> +/- oo) E(x) = oo
E(0) = m > 0
La courbe représentant E(x) a un minimum pour x = 2(m+1)/m > 0
Ce minimum vaut E(2(m+1)/m) = (1/4).m.(2(m+1)/m)² - (m+1)(2(m+1)/m) + m
= ((m+1)²/m) - 2(m+1)²/m + m
= (-(m+1)²+m²)/m = (-m²-2m-1+m²)/m = -(2m+1)/m < 0
On sait que:
E(x) est donc décroissant pour x dans ]-oo ; 2(m+1)/m[
E(0) > 0.
E(2(m+1)/m) < 0
lim(x->oo) E(x) = +oo > 0
E(x) est continue sur R.
-> Il y a 2 solutions à E(x) = 0 et elles sont positives.
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3)
S'il y a 2 solutions opposées; soit A et -A ces solutions.
E(x) peut alors s'écrire: k(x-A)(x+A) = k(x²-A²) = kx² - kA²
A identifier avec (1/4)m.x² - (m+1)*x + m
-> On a le système:
(1/4)m = k
-(m+1) = 0
m = -k
Ce système n'a pas de solution -> il est impossible d'avoir des solutions opposées pour E.
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Sauf distraction.
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