Bonjour

As-tu vu le discriminant ? Car sinon a part en passant par la forme canonique (forme qui n'est vue qu'en premiere comme le discriminant ) je ne vois pas trop comment répondre rien qu'a la premiére question


Jord

Re
Je précise que je suis du MAROC et qu'on a vu les discriminants (nos programmes sont un peu differents)

Merci encore une fois

Je precise :

(E) : 1/4 * m*x² - (m+1)*x + m = 0
je m'excuse de l'erreur

Si tu as vu les discriminants, tu peux calculer =b²+4ac avec a=m/4 , b=-m-1 , c=m. Puis pour que (E) ait 2 solutions distinctes il faut que >0, donc tu as une condition sur m.

b²-4ac, pour le discriminant, désolée...

1)
Soit Delta le discriminant de l'équation (1/4).m.x² - (m+1)*x + m = 0

Delta = (m+1)² - 4(1/4)m.m
Delta = m²+2m+1 - m²
Delta = 2m+1

(E) a 2 solutions distinctes si Delta > 0
donc pour m > -1/2

Mais pour avoir 2 solutions distinctes,n il faut aussi que l'ééquation soit du second degré -> que m soit différent de 0.

Finalement:
Pour avoir 2 solutions distinctes pour (E), il faut que m appartienne à ]-1/2 ; 0[ U ]0 ; oo[
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2)
Si m > 0, 2m + 1 > 0 -> Delta > 0 et (E) a 2 solutions distinctes.
Soit x1 et x2 ces 2 solutions.

lim(x -> +/- oo) E(x) = oo
E(0) = m > 0

La courbe représentant E(x) a un minimum pour x = 2(m+1)/m > 0
Ce minimum vaut E(2(m+1)/m) = (1/4).m.(2(m+1)/m)² - (m+1)(2(m+1)/m) + m
= ((m+1)²/m) - 2(m+1)²/m + m
= (-(m+1)²+m²)/m = (-m²-2m-1+m²)/m = -(2m+1)/m < 0

On sait que:
E(x) est donc décroissant pour x dans ]-oo ; 2(m+1)/m[
E(0) > 0.
E(2(m+1)/m) < 0
lim(x->oo) E(x) = +oo > 0
E(x) est continue sur R.

-> Il y a 2 solutions à E(x) = 0 et elles sont positives.
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3)
S'il y a 2 solutions opposées; soit A et -A ces solutions.

E(x) peut alors s'écrire: k(x-A)(x+A) = k(x²-A²) = kx² - kA²
A identifier avec (1/4)m.x² - (m+1)*x + m

-> On a le système:

(1/4)m = k
-(m+1) = 0
m = -k

Ce système n'a pas de solution -> il est impossible d'avoir des solutions opposées pour E.
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Sauf distraction.