C'est quoi l'équation ?

cos(2x) + 2sin(x) - 2x -1 = 0

ou

cos²(x) + 2sin(x) - 2x -1 = 0
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Dans les 2 cas, il y a au moins x = 0 qui convient.

Dans les 2 cas, il y a une autre solution qui convient.
...
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Ce serait mieux d'avoir l'énoncé complet.    

Nan c'est bien
cos(2x) + 2sin(x) - 2x -1 = 0
(si ca avait été un carré, j'aurais mis un carré)

Quant a avoir l'énoncé complet, c'est f(x)=cos(2x) + 2sin(x)
et g(x) = 2x+1 et l'étude du signe de f(x)-g(x)
(g étant, sauf erreur de ma part, l'équation de la tangente a Cf
au point d'abscisse 0)

Et puis autre chose, je voudrais que vous m'expliqiuez comment
faire, pas avoir la solution...

h(x) = cos(2x) + 2sin(x) - 2x - 1
h(x) = 1-2sin²(x) + 2sin(x) - 2x - 1
h(x) = -2sin²(x) + 2sin(x) - 2x
h(x) = -2(sin²(x) - sin(x) + x)

sin²(x) - sin(x) = sin(x).(sin(x) - 1)
et comme sin(x) - 1 <= 0, sin²(x) - sin(x) a le signe de sin(x)

si x dans ]0 ; pi[ , on a donc sin²(x) - sin(x) > 0
et donc aussi sin²(x) - sin(x) + x > 0
-> h(x) < 0 pour x dans ]0 ; pi[   (1)

comme -1 <= sin(x) <= 1, on a -2 <= sin²(x) - sin(x) <= 2
pour x dans [pi ; oo[, on a donc sin²(x) - sin(x) + x > 0
-> h(x) < 0 pour x dans [pi ; oo[ (2)

On a donc avec (1) et (2) : cos(2x) + 2sin(x) - 2x - 1 < 0 pour x dans
]0 ; oo[
On a aussi h(0) = 0 -> cos(2x) + 2sin(x) - 2x - 1 = 0 pour x = 0.
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Il reste à étudier h(x) pour x < 0

a)
cos(2x) + 2sin(x) >= -3
h(x) >= -3 - 2x - 1
h(x) >= -4 - 2x
et donc si x < -2, on a h(x) > 0

On a donc: cos(2x) + 2sin(x) - 2x - 1 > 0 pour x dans ]-oo ; -2[

b) Il reste donc à étudier h(x) pour x dans [-2 ; 0[

h(x) = cos(2x) + 2sin(x) - 2x - 1
h '(x) = -2sin(2x) + 2cos(x) - 2

comme -1 <= sin(2x) <= 1
-2 <= -2sin(2x) <= 2
-4<= -2sin(2x) - 2 <= 0

Si cos(x) < 0, on a aussi h'(x) < 0.
Or cos(x) < 0 pour x dans [-2 ; -Pi/2[.
-> h'(x) < 0 au moins dans [-2 ; -pi/2[ et h(x) est décroissante.

h(-2) = cos(-4) + 2sin(-2) + 4 - 1 = 0,5... > 0
h(-pi/2) = cos(-pi) + 2.sin(-pi/2) + pi - 1 = -0,8... < 0

et donc il y a une et une seule valeur de x qui annule h(x) dans [-2
; -pi/2]

Cette valeur peut alors être approchée par approximations successives.
On trouve cette valeur alpha = -1,869...

On a donc jusqu'à présent:
cos(2x) + 2sin(x) - 2x - 1 > 0 pour x dans ]-oo ; alpha[   (avec alpha =
-1,869...)
cos(2x) + 2sin(x) - 2x - 1 = 0 pour x = alpha
cos(2x) + 2sin(x) - 2x - 1 < 0 pour x dans ]alpha ; -pi/2[

cos(2x) + 2sin(x) - 2x - 1 = 0 pour x = 0
cos(2x) + 2sin(x) - 2x - 1 > 0 pour x dans ]0 ; oo[
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Il reste à faire l'étude de h(x) pour x dans [-Pi/2 ; 0[

Mais je n'en ai pas le courage...
On devrait montrer que cos(2x) + 2sin(x) - 2x - 1 > 0 pour x dans [pi/2
; 0[

et donc finir par conclure:

cos(2x) + 2sin(x) - 2x - 1 > 0 pour x dans ]-oo ; alpha[   (avec alpha =
-1,869...)
cos(2x) + 2sin(x) - 2x - 1 = 0 pour x = alpha
cos(2x) + 2sin(x) - 2x - 1 < 0 pour x dans ]alpha ; 0[
cos(2x) + 2sin(x) - 2x - 1 = 0 pour x = 0
cos(2x) + 2sin(x) - 2x - 1 > 0 pour x dans ]0 ; oo[
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Sauf distraction.