Salut,
Je suis en train de chercher la solution pour l'exercice suivant:
Soit l'équation
Déterminer la/ les valeur(s) du paramètre réel m tel que l'équation admette deux solutions dont la différence est .
J'ai essayé trois pistes:
1) chercher
tels que
Mais je n'arrive pas à identifier les coefficients avec le paramêtre.
2) diviser par cos(x) pour avoir tan(x) mais 1/cosx dérange dans l'équation
3) diviser par pour avoir
afin de pouvoir mettre au carré l'équation
mais il y a trop de cas différents par rapport aux signes des deux membres pour pouvoir faire ca..
Pouvez-vous m'aider?
Merci en avance.
salut
0/ étudier le cas évident et trivial (et éventuellement
pour m différent de 0 (et de-1) :
1/ pose
2/ justifie qu'il existe tel que
3/ réviser les formules d'addition : cos (a + b) = ... , cos (a + b) = ...
4/ déterminer les solutions
5/ condition sur m pour vérifier la contrainte demandée
autre méthode :
soit une solution
condition sur m pour que soit solution ...
jus qu'à 2/ j'étais déjà avancé j'ai également montré que les deux membres droites sont
donc
[...]
et pour m>0 p.ex. j'ai
Ca m'apparait pas être le bon chemin.. non?
L'autre piste je sais pas vraiment.. ca a sûrement qc à voir avec les racines des sin/ cos, non?
Bonsoir,
on peut remarquer que est toujours solution.
Puis se demander quel est le nombre maximum de solutions de l'équation sur un intervalle de longueur
@sanantonio312: oui la boum aka les 378494 autres exercices qui m'occupent exercices du matin au soir
@verdurin: au max 3 non? mais je sais pas où ca doit m'amener
j'ai eu trois pistes de vous et j'arrive à conclure aucune
Oui, il peut y avoir 3 solutions, mais dans ce cas il en a 2 qui différent de 2.
Sur un intervalle semi-ouvert, par exemple ]- ;
], il y en a au plus 2.
Comme 0 est solution dans cet intervalle l'autre solution doit être /2 ou -
/2.
Il suffit alors de remplacer successivement x par ces deux valeurs pour voir ce qu'elles nous indiquent sur m.
oh wow.. cest honteux de pas avoir vu ca
donc les deux solution sont 0 et pi/2 pour m=0,5
Quand même j'aurais bien aimé voir comment continuer pour le chemin proposé de carpediem, au cas où je tombe sur un cas où c'est pas aussi facile
merci à vous!
ah.. par contre.. je me souviens pourquoi j'ai hésité de "tester" des valeurs pour x
ce qui m'a dérangé c'etait il y a DEUX solutions.
ne devraient pas être 0+2kpi et pi/2+2kpi aussi des solutions?
Bonjour,
Un peu autrement :
L'équation peut s'écrire : cos(x) - (m+1)/m * sin(x) = 1
Si X est solution, on a :
cos(X) - (m+1)/m * sin(X) = 1 (1)
Et on doit avoir comme autre solution : X +/- Pi/2
Donc : cos(X +/- Pi/2) - (m+1)/m * sin(X +/- Pi/2) = 1 (2)
(1) et (2) --> cos(X) - (m+1)/m * sin(X) = cos(X +/- Pi/2) - (m+1)/m * sin(X +/- Pi/2)
cos(X) - cos(X +/- Pi/2) = (m+1)/m * (sin(X) - sin(X +/- Pi/2))
-2.sin(x +/- Pi/4) * sin(-/+ Pi/4) = 2 * (m+1)/m * sin(x +/- Pi/4) * cos(-/+ Pi/4)
... qui se simplifie en : - sin(-/+ Pi/4)/cos(+/- Pi/4) = (m+1)/m
(m+1)/m = +/- 1
m+1 = +/- m ... dont la seule possibilité est m = -1/2
L'équation de départ est alors équivalente à : cos(x) + sin(x) = 1
... et on vérifie que cette équation à bien des paires de solutions différentes de Pi/2
candide2 : n'est-ce pas ma "autre méthode" sans même diviser par m :
on suppose que a est solution donc
je pose
on veut que soit solution donc :
avec + on obtient :
de (1) et (2) on en déduit par soustraction que :
puis transformation classique de ...
pour répondre à
Bonsoir,
Peu disponible pendant une semaine et utilisant mon seul téléphone, j'ai suivi sans pouvoir trop intervenir.
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