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équation trigonométrique avec paramètre

Posté par
kassiopeia
31-01-25 à 16:19

Salut,

Je suis en train de chercher la solution pour l'exercice suivant:

Soit l'équation mcos(x)-(m+1)sin(x)=m, m\epsilon R
Déterminer la/ les valeur(s) du paramètre réel m tel que l'équation admette deux solutions dont la différence est \frac{\Pi }{2}.

J'ai essayé trois pistes:

1) chercher r\epsilon R^{+} et \varphi \epsilon ]0;pi[
tels que
mcosx-(m+1)sinx=rcos(x-\varphi )
Mais je n'arrive pas à identifier les coefficients avec le paramêtre.

2) diviser par cos(x)cosx\neq 0 pour avoir tan(x) mais 1/cosx dérange dans l'équation

3) diviser par m\neq 0 pour avoir cosx-1=(1+\frac{1}{m})sinx
afin de pouvoir mettre au carré l'équation
mais il y a trop de cas différents par rapport aux signes des deux membres pour pouvoir faire ca..

Pouvez-vous m'aider?

Merci en avance.

Posté par
carpediem
re : équation trigonométrique avec paramètre 31-01-25 à 18:11

salut

0/ étudier le cas évident et trivial m = 0 (et éventuellement m = -1

pour m différent de 0 (et de-1) :

1/ pose r = \sqrt {m^2 + (m + 1)^2

2/ justifie qu'il existe \phi tel que \left\lbrace\begin{matrix} \cos \phi = \dfrac m r\\ \sin \phi = \dfrac {m + 1} r \end{matrix}\right.

3/ réviser les formules d'addition : cos (a + b) = ... , cos (a + b) = ...

4/ déterminer les solutions

5/ condition sur m pour vérifier la contrainte demandée



autre méthode :

soit \alpha  une solution

condition sur m pour que \alpha \pm \dfrac \pi 2 soit solution ...

Posté par
kassiopeia
re : équation trigonométrique avec paramètre 31-01-25 à 22:05

jus qu'à 2/ j'étais déjà avancé j'ai également montré que les deux membres droites sont \leq \mid 1|

donc

rcos(x-\phi )=m
[...]
et pour m>0 p.ex. j'ai cos(x-\phi )=sqrt(1+\frac{m^2}{(m+1)^2})

Ca m'apparait pas être le bon chemin.. non?

L'autre piste je sais pas vraiment.. ca a sûrement qc à voir avec les racines des sin/ cos, non?

Posté par
verdurin
re : équation trigonométrique avec paramètre 31-01-25 à 23:37

Bonsoir,
on peut remarquer que x\equiv 0 \pmod{2\pi} est toujours solution.
Puis se demander quel est le nombre maximum de solutions de l'équation sur un intervalle de longueur 2\pi.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : équation trigonométrique avec paramètre 02-02-25 à 12:43

Bonjour,
Je vote pour la proposition de verdurin
Dommage que kassiopeia ne réagisse plus.

Posté par
sanantonio312
re : équation trigonométrique avec paramètre 02-02-25 à 13:11

Le week-end, y'a des boums. Ça doit être pour ça!

Posté par
kassiopeia
re : équation trigonométrique avec paramètre 02-02-25 à 13:53

@sanantonio312: oui la boum aka les 378494 autres exercices qui m'occupent exercices du matin au soir

@verdurin: au max 3 non? mais je sais pas où ca doit m'amener

j'ai eu trois pistes de vous et j'arrive à conclure aucune

Posté par
verdurin
re : équation trigonométrique avec paramètre 02-02-25 à 14:38

Oui, il peut y avoir 3 solutions, mais dans ce cas il en a 2 qui différent de 2.
Sur un intervalle semi-ouvert, par exemple ]- ; ], il y en a au plus 2.

Comme 0 est solution dans cet intervalle l'autre solution doit être /2 ou -/2.
Il suffit alors de remplacer successivement x par ces deux valeurs pour voir ce qu'elles nous indiquent sur m.

Posté par
kassiopeia
re : équation trigonométrique avec paramètre 02-02-25 à 16:46

oh wow.. cest honteux de pas avoir vu ca

donc les deux solution sont 0 et pi/2 pour m=0,5

Quand même j'aurais bien aimé voir comment continuer pour le chemin proposé de carpediem, au cas où je tombe sur un cas où c'est pas aussi facile

merci à vous!

Posté par
kassiopeia
re : équation trigonométrique avec paramètre 02-02-25 à 16:49

ah.. par contre.. je me souviens pourquoi j'ai hésité de "tester" des valeurs pour x

ce qui m'a dérangé c'etait il y a DEUX solutions.
ne devraient pas être 0+2kpi et pi/2+2kpi aussi des solutions?

Posté par
candide2
re : équation trigonométrique avec paramètre 02-02-25 à 17:19

Bonjour,

Un peu autrement :

L'équation peut s'écrire : cos(x) - (m+1)/m * sin(x) = 1

Si X est solution, on a :
cos(X) - (m+1)/m * sin(X) = 1  (1)

Et on doit avoir comme autre solution : X +/- Pi/2
Donc : cos(X +/- Pi/2) - (m+1)/m * sin(X +/- Pi/2) = 1  (2)

(1) et (2) --> cos(X) - (m+1)/m * sin(X) = cos(X +/- Pi/2) - (m+1)/m * sin(X +/- Pi/2)

cos(X) -  cos(X +/- Pi/2) = (m+1)/m * (sin(X) - sin(X +/- Pi/2))

-2.sin(x +/- Pi/4) * sin(-/+ Pi/4) = 2 * (m+1)/m * sin(x +/- Pi/4) * cos(-/+ Pi/4)

... qui se simplifie en :  - sin(-/+ Pi/4)/cos(+/- Pi/4) =  (m+1)/m

(m+1)/m = +/- 1

m+1 = +/- m ... dont la seule possibilité est m = -1/2

L'équation de départ est alors équivalente à : cos(x) + sin(x) = 1

... et on vérifie que cette équation à bien des paires de solutions différentes de Pi/2

Posté par
kassiopeia
re : équation trigonométrique avec paramètre 02-02-25 à 18:34

@candide2: génial, merci!

Posté par
carpediem
re : équation trigonométrique avec paramètre 02-02-25 à 19:47

candide2 : n'est-ce pas ma "autre méthode" sans même diviser par m :

on suppose que a est solution donc m \cos a - (m + 1) \sin a = m  (1)

je pose p = \dfrac \pi 2

on veut que a \pm p soit solution donc :

m\cos (a \pm p) - (m + 1) \sin (a \pm p) = m

avec + on obtient : -m \sin a - (m + 1) \cos a = m   (2)

de (1) et (2) on en déduit par soustraction que :  m(\cos a + \sin a) + (m + 1) (\cos a - \sin a) = 0

puis transformation classique de \cos a \pm \sin a ...

pour répondre à

kassiopeia @ 02-02-2025 à 16:46

Quand même j'aurais bien aimé voir comment continuer pour le chemin proposé de carpediem, au cas où je tombe sur un cas où c'est pas aussi facile

ma première méthode doit aboutir aussi mais me semble bien compliquée et surtout calculatoire ...

Posté par
kassiopeia
re : équation trigonométrique avec paramètre 02-02-25 à 20:04

ah oui, je vois! merci bcp!

Posté par
carpediem
re : équation trigonométrique avec paramètre 03-02-25 à 19:33

carpediem @ 02-02-2025 à 19:47

de (1) et (2) on en déduit par soustraction que :  m(\cos a + \sin a) + (m + 1) (\cos a - \sin a) = 0
ou plus simplement \sin a = (2m + 1) \cos a ...

à voir comment bricoler cela ensuite ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : équation trigonométrique avec paramètre 04-02-25 à 21:45

Bonsoir,
Peu disponible pendant une semaine et utilisant mon seul téléphone, j'ai suivi sans pouvoir trop intervenir.

Citation :
ma première méthode doit aboutir aussi mais me semble bien compliquée et surtout calculatoire ...
Finalement, cette méthode me plait bien aussi
Elle n'est pas simple, mais pas si calculatoire que ça.
Et kassiopeia a exprimé l'envie de voir comment la poursuivre.

Sans mettre à part les cas m = 0 ou m = -1.

Poser \; r = \sqrt {m^2 + (m + 1)^2 .
Puis justifier qu'il existe t réel tel que \; cos(t) = m/r \; et \; sin(t) = (m+1)/r .
L'équation s'écrit alors \; cos(t+x) = cos(t) .
On en déduit deux catégories de solutions :
Les \; xk \; avec \; xk = 2k .
Les \; yk' \; avec \; yk' = 2k' - 2t .
Les \; xk \; sont distants d'au moins \; 2 .
Idem pour les \; yk' .
Seules possibilités d'avoir deux solutions distantes de \; /2 \; : \; xk - yk' = /2 .
Ce qui donne \; t = /4 + k" .

D'où \; \dfrac{m}{r} = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \; et \; \dfrac{m+1}{r} = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} .

Puis \; \dfrac{1}{r} = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} .
1/r \; est non nul et positif ; donc \; 1/r = 2 .
D'où \; m2 + (m+1)2 = r2 = 1/2 .
Ce qui donne \; (m + 1/2)2 = 0 .
Ouf !

Posté par
carpediem
re : équation trigonométrique avec paramètre 05-02-25 à 16:30

et merci !!



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