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equations diophantiennes a resoudre

Posté par Jon (invité) 30-08-04 à 21:10

Trouver tous les entiers x, y et z qui satisfaitent les equations suivantes:

1 = x + y + z et 1 = x^3 + y^3 + z^2 .

Merci pour votre aide

Posté par re : equations diophantiennes a resoudre 30-08-04 à 21:38

BONJOUR

Posté par re : equations diophantiennes a resoudre 30-08-04 à 22:30

Bonjour quand même Jon

Pour la premiére :
$x+y+z=1\rm~~~~(E)$

On cherche deux couples de solutions primitives des équations respectives :

$3$\{{x+u=1\atop y+z=1}\$

On choisit par exemple : $(x=1:u=0);(y=1;z=0)$

Alors , toutes les solutions de l'équation (E) sont les triplets :

$3$\{{x_{t}=1+t\\y_{(t,s)}=-t+s\\z_{(s)}=-s}\\$

avec $(t,s)\in Z^2$

Pour la deuxiéme je cherche

Posté par re : equations diophantiennes a resoudre 30-08-04 à 22:44

En fait je sais pas si c'est trés clair ce que j'ai dit . Enfin , ça l'ai si on connait les formules . Alors je vais les mettre :

Soit l'équation diophantienne :
$ax+by+cz=d\rm~~~~(E)$

L'équation admet des solutions entiéres si et seulement si : $PGCD(a,b,c)|d$

On admet les deux couples de solutions entiéres $(x;u)\rm~~et~~(z;y)$ des équations :

$3$\{{ax+PGCD(b,c).u=d\\by+cz=PGCD(b,c)}\$

Alors , toutes les solutions entiéres de (E) sont les triplets d'entier (X;Y;Z) tel que :

$3$\{{X=x+\frac{t\times PGCD(b,c)}{PGCD(a,b,c)}\\Y=y.u-\frac{t.a.y}{PGCD(a,b,c)}+\frac{s.c}{PGCD(b,c)}\\Z=z.u-\frac{t.a.z}{PGCD(a,b,c)}-\frac{s.c}{PGCD(b,c)}}\$

Avec $(t,s)\in Z^2$

Voila , c'est la solution générale . Maintenant , ce que j'ai fait dans mon post précédent parait beaucoup plus simple seulement parceque a,b,c et d sont égaux à 1

Posté par re : equations diophantiennes a resoudre 31-08-04 à 11:15

Je suppose que les 2 équations doivent être respectées simultanément.

z = 1 - x - y ->

1 = x³ + y³ + (1-x-y)²

1 = x³ + y³ + 1 + x² + y² -2x - 2y +2xy

x³ + y³ + x² + y² -2x - 2y +2xy = 0

Cela saute aux yeux que x = -y convient.
En effet x = -y donne:
x³ - x³ + x² + x² -2x + 2x -2x² = 0
0 = 0

Donc une gamme de solutions est donnée par z = 1 et x = -y  (x entier quelconque)
----
Si $x\neq -y$
On divise  x³ + y³ + x² + y² -2x - 2y +2xy par (x + y)

On obtient:  x³ + y³ + x² + y² -2x - 2y +2xy = (x+y)(x²+y²+x+y-xy-2)
->
(x+y)(x²+y²+x+y-xy-2) = 0
et comme $x\neq -y$ , il vient:

x²+y²+x+y-xy-2 = 0
x² + x(1-y) + y²+y-2 = 0

$x = \frac{y-1\pm\sqrt{y^2-2y+1-4y^2-4y+8}}{2}$
$x = \frac{y-1\pm\sqrt{-3y^2-6y+9}}{2}$

Or -3y^2-6y+1 >= 0 pour -3 <= y <= 1
Donc les seules valeurs de y susceptibles de convenir sont: -3; -2; -1; 0 ; 1

a)
y = -3 ->   $x = \frac{-4\pm\sqrt{0}}{2}$ , soit x = -2

b)
y = -2 -> $x = \frac{-3\pm\sqrt{9}}{2}$ , soit x = 0 et x = -3

b)
y = -1 -> $x = \frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}$ , ne convient pas car x non entier.

c)
y = 0 -> de la même manière: x = -2 et x = 1

d)
y = 1 -> de la même manière: x = 0
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y = -3 et x = -2 -> z = 1 + 3 + 2 = 6
y = -2 et x = 0 -> z = 3
y = -2 et x = -3 -> z = 6
y = 0 et x = -2 -> z = 3
y = 0 et x = 1 -> z = 0
y = 1 et x = 0 -> z = 0

solutions auxquelles on ajoute celles trouvées avant, soit:
z = 1 et x = -y  (x entier quelconque)

Les couples (x,y,z) qui conviennent sont donc:
(-2, -3, 6)
(0, -2, 3)
(-3, -2, 6)
(-2, 0, 3)
(1 ; 0; 0)
(0 ; 1; 0)
(k, -k; 1)  avec k dans Z.
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Sauf distraction.