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espace hermitien normé

Posté par Profil amethyste 06-07-15 à 23:07

Salut

je trouve que c'est plus clair écrit ainsi ....

définition d'espace hermitien normé

Un espace hermitien normé E est un \mathbb {C}-espace vectoriel E de dimension finie n
et muni d'un  produit scalaire hermitien noté \langle \cdot\mid\cdot\rangle et muni d'une norme hermitienne

Convention de notation
Dans ce qui suit on emploie les lettres v,w,x,y,z pour désigner tout vecteur de E
ces vecteurs que l'on représente par des matrices colonnes
par exemple avec la lettre x=\begin {pmatrix}x_1 \\ ...\\x_n \end {pmatrix}
avec x_k=Re(x_k)+i.Im(x_k)\in \mathbb {C} et k\in \mathbb {N}_n^*

on emploie les lettres I,J,K,L,M,N,P,Q pour désigner des matrices \mathcal {M}_{pq}(\mathbb {C})
de p lignes et q colonnes
qui représentent des applications d'une espace vectoriel de dimension q vers un espace de dimension p
par exemple avec la lettre M=\begin {pmatrix} m_{11} & ...  & m_{1p} \\ ... &...  &  ...\\m_{n1}  & ... &  m_{np} \end {pmatrix} avec les composantes m_{ij}\in \mathbb {C}
avec la notation pour la matrice identité  I=\begin {pmatrix} 1 & 0  & ...& 0 \\ 0 &  1  &  ...& 0\\...  & ... &  ...& ...\\  0&0&...&1 \end {pmatrix}

on emploie les lettres grecques \gamma   ou \lambda munies d'un indice ou pas pour désigner des scalaires

pour tout scalaire \lambda \in \mathbb {C} on pose les notations suivantes :
|\lambda | désigne le module et \overline {\lambda } le conjugué de ce nombre complexe

conditions
le produit scalaire et la norme hermitienne vérifient les deux assertions suivantes

première assertion : la forme de ce produit scalaire est sesquilinéaire à droite (ou exclusif) à gauche

on dit que cette forme sesquilinéaire est à droite si et seulement si

\forall x,\forall y,\forall z \in E et \forall \lambda \in \mathbb {C} on vérifie
\langle x \mid y+ \lambda  z\rangle=\langle x\mid  y\rangle +\overline {\lambda } \langle x\mid z \rangle est semi linéaire à droite
\langle x + \lambda  y\mid   z\rangle=\langle x\mid  z\rangle + \lambda \langle y\mid z \rangle est linéaire à gauche
et donc pour tout vecteur x\in E , l'application \varphi _x de   E     dans   \mathbb {C}   définie par
\varphi _x (y)=\langle y\mid  x\rangle est une forme linéaire

exemple de forme sesquilinéaire à droite \langle x\mid  y\rangle =\sum_{i=1}^{n}x_i\overline {y}_i

on dit que cette forme sesquilinéaire est à gauche si et seulement si

\forall x,\forall y,\forall z \in E et \forall \lambda \in \mathbb {C} on vérifie
\langle x \mid  y+ \lambda   z\rangle=\langle x\mid  y\rangle + \lambda \langle x\mid z \rangle est linéaire à droite
et donc pour tout vecteur x\in E , l'application \varphi _x de   E     dans   \mathbb {C}   définie par
\varphi _x (y)=\langle x\mid  y\rangle est une forme linéaire
\langle x +y \lambda \mid   z\rangle=\langle x\mid  z\rangle +\overline {\lambda } \langle y\mid z \rangle est semi linéaire à gauche

exemple de forme sesquilinéaire à gauche  \langle x\mid  y\rangle =\sum_{i=1}^{n} \overline {x}_i y_i

deuxième assertion :
a)\forall x,\forall y \in E   alors \langle x\mid y \rangle=\overline {\langle y\mid x \rangle}
b)si pour un x \in E fixé et \forall y\in E on vérifie toujours \langle x\mid y \rangle =0 alors obligatoirement x=\overrightarrow {0}
c)si pour un  fixé x\in E et \forall y\in E on vérifie toujours \langle x\mid y \rangle =0  alors obligatoirement x=\overrightarrow {0}
d)\forall x \in E on vérifie \langle x\mid x \rangle \in \mathbb {R}^+
e)\forall x\in E on vérifie l'équivalence logique (\langle x\mid x \rangle =0)\Leftrightarrow (x=\overrightarrow {0})
f)la norme hermitienne d'un vecteur x \in E est donnée par l'expression ||x||=\sqrt {\langle x\mid x \rangle }
et on vérifie l'inégalité de Cauchy-Schwarz |\langle x\mid y \rangle|\leq ||x||.||y||
et l'inégalité triangulaire ||x+y||\leq  ||x||+||y||

Posté par Profil amethystere : espace hermitien normé 07-07-15 à 03:01


pour la suite si on reste dans une géométrie définie par la forme sesquilinéaire à gauche suivante \langle x\mid  y\rangle =\sum_{i=1}^{n} \overline {x}_i y_i

de sorte que

\forall x,\forall y,\forall z \in E et \forall \lambda \in \mathbb {C} on vérifie
\langle x \mid  y+ \lambda   z\rangle=\langle x\mid  y\rangle + \lambda \langle x\mid z \rangle est linéaire à droite
et donc pour tout vecteur x\in E , l'application \varphi _x de   E     dans   \mathbb {C}   définie par
\varphi _x (y)=\langle x\mid  y\rangle est une forme linéaire
\langle x + \lambda  y\mid   z\rangle=\langle x\mid  z\rangle +\overline {\lambda } \langle y\mid z \rangle est semi linéaire à gauche

démonstration
\forall x,\forall y,\forall z \in E et \forall \lambda \in \mathbb {C} on vérifie
\langle x \mid  y+ \lambda   z\rangle =\overline {x}_1(y_1+\lambda z_1)+...+\overline {x}_n(y_n+\lambda z_n)= \overline {x}_1y_1+...+\overline {x}_ny_n+\lambda (\overline {x}_1z_1)+...+\lambda (\overline {x}_nz_n)=...
...=\langle x\mid  y\rangle + \lambda \langle x\mid z \rangle est linéaire à droite

\langle x + \lambda  y\mid   z\rangle=\overline {x_1+\lambda y_1}.z_1+...+\overline {x_n+\lambda y_n}.z_n=...
...=\overline {Re(x_1)+i.Im(x_1)+((Re(\lambda)+i.Im(\lambda)).(Re(y_1)+i.Im(y_1)))}.z_1+...+\overline {Re(x_n)+i.Im(x_n)+((Re(\lambda)+i.Im(\lambda)).(Re(y_n)+i.Im(y_n)))}.z_n  

Citation :
\overline {a+ib+c+id}=a-ib+c-id=\overline {a+ib} +\overline {c+id}  

\overline {(a+ib).(c+id)}.(p+iq)=\overline {ac+iad+ibc-bd}.(p+iq)=(ac-bd-iad-ibc).(p+iq)=(a-ib).(c-id).(p+iq)=  \overline {a+ib}.\overline {c+id}.(p+iq)  

par conséquent
\langle x + \lambda  y\mid   z\rangle=(\overline {Re(x_1)+i.Im(x_1) }+\overline {(Re(\lambda)+i.Im(\lambda)).(Re(y_1)+i.Im(y_1))} ).z_1+...+(\overline {Re(x_n)+i.Im(x_n) }+\overline {(Re(\lambda)+i.Im(\lambda)).(Re(y_n)+i.Im(y_n))} ).z_n=...
...=\overline {x_1}z_1+\overline {\lambda }\overline {y_1}z_1+...+\overline {x_n}z_n+\overline {\lambda }\overline {y_n}z_n  =...
...=\langle x\mid  z\rangle +\overline {\lambda } \langle y\mid z \rangle est semi linéaire à gauche

Posté par Profil amethystere : espace hermitien normé 07-07-15 à 06:44


à partir de maintenant il s'agit de reconstruire tous les concepts que l'on peut
et qui sont reconnaissables en géométrie classique mais appliqués dans l'espace hermitien
défini par la forme sesquilinéaire à gauche  \langle x\mid  y\rangle =\sum_{i=1}^{n} \overline {x}_i y_i

Citation :
on rappelle donc que l'on vérifie  

\forall x,\forall y,\forall z \in E et \forall \lambda \in \mathbb {C} on vérifie
\langle x \mid  y+ \lambda   z\rangle=\langle x\mid  y\rangle + \lambda \langle x\mid z \rangle est linéaire à droite
et donc pour tout vecteur x\in E , l'application \varphi _x de   E     dans   \mathbb {C}   définie par
\varphi _x (y)=\langle x\mid  y\rangle est une forme linéaire
\langle x + \lambda  y\mid   z\rangle=\langle x\mid  z\rangle +\overline {\lambda } \langle y\mid z \rangle est semi linéaire à gauche


les deux premiers concepts : le vecteur nul et la colinéarité entre deux vecteurs

lorsque l'on peut definir un concept par l'utilisation de cette forme on ne doit pas s'en priver
puisque cette forme est une image abstraite de la representation naturelle de la géométrie classique
c'est la raison pour laquelle le formalisme de cet espace n'est pas representable mentalement tout comme
on peut mentalement se representer l'espace classique (en général à trois dimensions mais pas exclusivement)
la seule façon qu'il reste de ce representer la réalité de cet espace est de se cramponner à ce qu'il possede
comme points commun avec la réalitée de l'espace classique

et ce point commun en fait le plus important de tous est la forme choisie qui definis les concepts
dans un espace hermitien

c'est ainsi que dans ce qui suit on dira le point commun de tel concept tel qu'il est formulé ,
avec le cas classique de la géométrie euclidienne (où la forme considérée est une forme euclidienne)  

Soit V un vecteur quelconque de cet espace E alors ce vecteur est nul
et on note V=\overrightarrow {0} si et seulement si \langle V \mid V \rangle =0

(en géometrie euclidienne on retrouve la même définition qu'ici
mais cette fois ci avec l'utilisation de la forme euclidienne du produit scalaire)

Soient un couple de vecteurs V,W \in E alors ce couple de vecteurs forme un systeme de vecteurs colinéaires

si et seulement si il existe un scalaire on note \exists \lambda \in \mathbb {C} tel que W=\lambda V

il résulte de cela immédiatement une chose importante à dire
est que tout vecteur quelqu'il soit est toujours colinéaire au vecteur nul

Citation :
dans l'espace euclidien donc muni du produit scalaire euclidien -il s'agit d'une forme bilinéaire symétrique-
où \langle x\mid y\rangle   peut prendre la forme \langle x\mid y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_iy_i
alors deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si \langle x\mid y\rangle ^2 -\langle x\mid x\rangle .\langle y\mid y\rangle
  

cependant ici il ne faut pas oublier la sesquiniléarité et de plus à gauche
alors deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si \langle x\mid y\rangle .\langle y\mid x\rangle  -\langle x\mid x\rangle .\langle y\mid y\rangle

pour le vérifier il suffit de remplacer   y par \gamma x ou bien de remplacer   x par \gamma y

Posté par Profil amethystere : espace hermitien normé 07-07-15 à 07:06

une coquille je corrige


Citation :
dans l'espace euclidien donc muni du produit scalaire euclidien -il s'agit d'une forme bilinéaire symétrique-
où \langle x\mid y\rangle   peut prendre la forme \langle x\mid y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_iy_i
alors deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si \langle x\mid y\rangle ^2 -\langle x\mid x\rangle .\langle y\mid y\rangle =0
  

cependant ici il ne faut pas oublier la sesquiniléarité et de plus à gauche
alors deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si \langle x\mid y\rangle .\langle y\mid x\rangle  -\langle x\mid x\rangle .\langle y\mid y\rangle =0

pour le vérifier il suffit de remplacer   y par \gamma x ou bien de remplacer   x par \gamma y

Posté par
gui_toure : espace hermitien normé 07-07-15 à 12:23

salut

pourquoi tu fais ça, et pourquoi dans cette rubrique ?

Posté par Profil amethystere : espace hermitien normé 07-07-15 à 16:58

pourquoi?
c'est bien des maths non?

peut être qu'il faudrait poser une question plus précise car là c'est trop vague...

... peut tu reformuler ta question ?

Posté par
gui_toure : espace hermitien normé 07-07-15 à 18:33

Ce n'est pas vraiment l'idée du forum expresso de recueillir des pavés de formules, qui plus est un simple recopiage de cours du secondaire. Mais bon si ça t'amuse continue, il y aura bien des gens pour te lire et te répondre. J'ai un peu pris le pli des topics abstraits, déconcertants et sans objectif précis d'alainpaul, ça n'a pas l'air de choquer grand-monde non plus.

Posté par Profil amethystere : espace hermitien normé 07-07-15 à 18:49

ça n'est pas un papier / collé

excuse mais moi j'ai pas appris les espaces hermitiens (j'ai arrêté les études en troisième au collège)

la définition donnée ici d'un espace hermitien normé est bien meilleure que ce qu'on peut trouver ailleurs

même sur le wiki, ceci dit

si tu trouve qu'elle présente des trucs inexacts tu peut le dire

si tu trouve que ce que je dit est choquant ou pouvant heurter la sensibilité des gens

tu peut le dire aussi : je ne mort pas! je suis pacifique et j'ai été éduqué par mon maitre

certes au départ il m'a dressé comme on dresse les tigres dans un cirque mais j'ai progressé

mon maitre m'a humanisé  

Posté par Profil amethystere : espace hermitien normé 08-07-15 à 08:13

bon après cet intermède incompréhensible je continue

le concept d'orthogonalité dans l'espace hermitien

en considérant une forme sesquilinéaire à droite alors on pose le vecteur z= \langle x\mid x\rangle y-\langle y\mid x \rangle x

en considérant une forme sesquilinéaire à gauche alors on pose le vecteur z= \langle x\mid x\rangle y-\langle x\mid y \rangle x

Lorsque x et y sont colinéaires alors on vérifie z=\overrightarrow {0} et aussi   \langle z\mid x\rangle =  \langle x\mid z\rangle =0

Lorsque x et y ne sont pas colinéaires alors on vérifie z\neq \overrightarrow {0} et aussi   \langle z\mid x\rangle =  \langle x\mid z\rangle =0

démonstration pour une forme sesquilinéaire à droite

la forme étant  sesquilinéaire à droite alors on pose  z= \langle x\mid x\rangle y-\langle y\mid x \rangle x

1a)admettons que x et y soient colinéaires alors dans ce cas il existe un scalaire \lambda \in \mathbb {C} tel que y=\lambda  x
on verifie z=\overrightarrow {0}
z=  \langle x \mid x\rangle (\lambda x )- \langle \lambda x  \mid x\rangle x= \lambda  \langle x \mid x\rangle x-\lambda  \langle x \mid x\rangle x=\overrightarrow {0}
1b)admettons que x et y soient colinéaires alors dans ce cas il existe un scalaire \lambda \in \mathbb {C} tel que x=\lambda  y
on verifie z=\overrightarrow {0}
z=  \langle \lambda y \mid \lambda y\rangle y- \langle y   \mid \lambda y\rangle  \lambda y =\lambda \overline {\lambda } \langle y \mid y\rangle y-\lambda   \overline {\lambda } \langle y \mid y\rangle y=\overrightarrow {0}
1c)admettons que x et y soient colinéaires alors dans ce cas  z=\overrightarrow {0} et donc
\langle x\mid z\rangle =   \langle x \mid \overrightarrow {0}\rangle =0 et \langle z\mid x\rangle =   \langle  \overrightarrow {0} \mid x\rangle =0

2a)admettons que x et y ne soient pas colinéaires
on vérifie \langle x\mid z\rangle = 0   en effet
\langle x\mid z\rangle =   \langle x\mid   \langle x\mid x\rangle   y-    \langle y\mid x\rangle  x\rangle =  \langle x\mid   \langle x\mid x\rangle y\rangle -  \langle x\mid    \langle y\mid x\rangle   x\rangle =...
...= \overline { \langle x\mid x\rangle} \langle x\mid y\rangle -\overline { \langle y\mid x\rangle}  \langle x\mid x\rangle
étant donné que   \langle x\mid x\rangle \in \mathbb {R} alors \overline { \langle x\mid x\rangle } = \langle x\mid x\rangle de sorte que
\langle x\mid z\rangle =  \langle x\mid x\rangle   \langle x\mid y\rangle - \langle x\mid x\rangle   \overline { \langle y\mid x\rangle  }
étant donné que \langle x\mid y\rangle  =\overline { \langle y\mid x\rangle  } on obtiens donc \langle x\mid z\rangle  =0
2b)admettons que x et y ne soient pas colinéaires
on vérifie \langle z\mid x\rangle = 0   en effet
\langle z  \mid x  \rangle  =  \langle    \langle x  \mid x  \rangle y-  \langle y  \mid x  \rangle x \mid x  \rangle  = ...
...= \langle   \langle x  \mid x  \rangle y  \mid  x \rangle -  \langle    \langle  y \mid x  \rangle x \mid x  \rangle  = ...
...=  \langle  x \mid x  \rangle   \langle y  \mid  x \rangle -  \langle  y \mid x  \rangle   \langle  x \mid  x \rangle  =0  

Posté par
Robotre : espace hermitien normé 08-07-15 à 13:59

Citation :
la définition donnée ici d'un espace hermitien normé est bien meilleure que ce qu'on peut trouver ailleurs


Elle est peut-être meilleure à tes yeux parce que tu l'as écrite.
Mais, très sincèrement, je n'en conseillerais la lecture à personne !

Posté par Profil amethystere : espace hermitien normé 08-07-15 à 14:46

certes camarade Robot (et franchement je pourrai jamais te rendre ce que tu m'a donné, oui c'est grâce à toi tout ça!)

(bon j'ai vu deux autres coquilles un produit par un scalaire mal écrit et la condition c) mal formulée mais bon c'est lisible )

quand au reste l'amour des maths ça rend aveugle à ce qu'on écrit
7j/7j comme le dit Cherrelle là (à propos d'autre chose peut être mais bon comme elle dit : sunday,monday, thuesday,wednesday,tuesday,wednesday,saturday  ...bref 7j/7j )
CHERRELLE SATURDAY LOVE


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