Niveau Master Maths

Espace probabilité OMEGA

Posté par
Zormuche 30-03-21 à 20:49

Bonjour à tous

Je voulais savoir : quand on définit proprement un espace probabilisé   $(\Omega, \mathcal{A},\mathbb{P})$   et une variable aléatoire $X$   réelle sur cet espace

$X$   est alors une application mesurable de   $(\Omega, \mathcal{A})$   vers   $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$

Bien souvent on écrit   $X(\omega)$   pour   $\omega\in\Omega$ , ce qui m'a fait demander :
L'ensemble   $\Omega$ , c'est un ensemble arbitraire dont on ne donne pas de valeur aux éléments, mais qui servent simplement à décrire le caractère aléatoire de la variable, non ?
Enfin, ça ne ve pas être   $\R$   ou une partie de   $\R$ , par exemple

Posté par re : Espace probabilité OMEGA 30-03-21 à 21:36

salut

et pourquoi n'aurait-on pas = R et A = B(R) ?

P la probabilité associée à la loi normale centrée réduite et X(w) = 2w ...

Posté par re : Espace probabilité OMEGA 31-03-21 à 09:22

Hello Zormuche tu as raison. Omega est un ensemble complètement abstrait en règle générale qui ne sert que pour la modélisation (on a besoin quand même  d'un ensemble pour intégrer et calculer des espérances!)

Si tu as une unique variable aleatoire ok Omega peut être simple.
Par contre si tu as comme v.a
Temperature de demain à 17h34 en degré + numero du mois de naissance de ton prochain gosse + population en 2034  bah ton Omega devient tres vite plus compliqué

Du coup on omet sa tête et c'est pas plus mal puisqu'au final on a besoin de rien savoir sur Omega contrairement en analyse où la topologie de l'espace de depart est ultra importante pour les notions de dérivee, monotonie et de limite  en un point (Notions qui n'existent pas en proba)

Posté par re : Espace probabilité OMEGA 31-03-21 à 09:32

Ah oui je vois, c'est beaucoup plus clair maintenant

Prenons l'exemple de carpediem : si je veux définir une deuxième variable aléatoire Y sur ce même ensemble mais qui soit d'une toute autre loi, par exemple une loi binomiale, là ça n'aura plus de sens de vouloir écrire Y(w) en fonction de w car l'expression ne sera pas simple du tout
D'où l'idée d'un Omega abstrait qui ne serve qu'à formaliser le côté théorie de la mesure des probas

Posté par re : Espace probabilité OMEGA 31-03-21 à 09:49

Le 2e gros problème en fixant Omega = R par exemple

Je ne sais pas si c'est possible de construire X et Y 2 v.a normales centrées reduites independantes sur Omega. Probablement que non et si c'est possible la demo va être degueulasse.

En probas tu t'occupes pas de ça. Tu supposes dans ta modélisation que ton univers est assez grand et que tu peux construire sur Omega 2 v.a normales centrées réduites sans problème

Posté par re : Espace probabilité OMEGA 31-03-21 à 10:33

Ce problème est équivalent à faire une bijection f entre R et R^2 non ?

On pourrait définir le couple (X,Y) en posant (X,Y)(w) = f(w) et en construisant a posteriori une mesure sur R qui coïncide avec une normale centrée réduite sur tous les sous-ensembles $f^{-1}(\R\times\{y\})$ et $f^{-1}(\{x\}\times\R)$

Mais j'ai bien l'impression que les variables ainsi créées et les ensembles sont loin d'être mesurables... dur dur

Posté par re : Espace probabilité OMEGA 01-04-21 à 23:55

Bonjour.

Il est vrai que classiquement, on n'explicite pas $\Omega$ , sauf dans certaines situations où en général deux situations sont réunies :
1) Cela n'induit aucune perte de généralité de considérer un espace $\Omega$ bien précis ;
2) Le fait d'expliciter $\Omega$ simplifie fortement les choses.

Un exemple trivial. Si je vous pose la question : soit $\mu$ une loi de probabilité sur un espace mesurable $E$ (par exemple $E=\R$ ). Est-ce qu'il existe une variable aléatoire $X$ ayant pour loi $\mu$ ?
Réponse : oui. Il suffit de prendre $\Omega=E$ muni de la même tribu, $\mathbb P=\mu$ et $X:x\mapsto x$ l'identité.

Un exemple moins trivial. Pour tout $n\in\N^*$ , soit $\mu_n$ une loi de probabilité sur $\R^n$ .
Question : existe-t-il une famille de variables $(X_n:\Omega\to\R)_{n\in\N^*}$ telle que pour tout $n\in\N^*$ , $(X_1,\cdots,X_n)$ ait pour loi $\mu_n$ ?
La réponse est beaucoup plus compliquée (elle ne se déduit pas directement de la question d'avant), et fait l'objet du théorème d'extension de Kolmogorov. Pour la démonstration, il est très utile de considérer le processus dit canonique, c'est-à-dire l'identité de $\R^{\N^*}$ dans lui-même, vue comme variable aléatoire, donc avec $\Omega=\R^{\N^*}$ . Dans ce cas on a décalé le problème : au lieu de chercher une famille de variables aléatoires, on cherche une loi. Dans ce cas c'est extrêmement utile.

Expliciter $\Omega$ a un intérêt pour répondre à beaucoup d'autres questions de ce genre, et l'intérêt du processus canonique ne se limite pas du tout qu'au théorème d'extension de Kolmogorov. De manière générale si on cherche une propriété sur un processus qui ne dépend que de sa loi, alors on peut sans perte de généralité considérer le processus canonique, sur lequel on a beaucoup plus d'emprise, précisément parce que $\Omega$ est connu.

Enfin, pour répondre à lionel52

Citation :
Le 2e gros problème en fixant Omega = R par exemple

Je ne sais pas si c'est possible de construire X et Y 2 v.a normales centrées reduites independantes sur Omega. Probablement que non et si c'est possible la demo va être degueulasse.

En fait c'est très simple. Ce qu'il faut retenir, c'est que si on a une loi uniforme, alors on a tout (à peu de choses près). Par exemple pour $\Omega=\R$ muni des boréliens, prenons $\mathbb P$ égal à la mesure de Lebesgue sur $]0,1[$ . Alors on sait construire une variable aléatoire $U:\Omega\to\R$ suivant une loi uniforme sur $[0,1]$ , par exemple l'identité $U:x\mapsto x$ . À partir de $U$ on peut construire deux uniformes indépendantes $V$ et $W$ sur $[0,1]$ . Il suffit par exemple de poser $V$ égale à $U$ dont on a éliminé les décimales en position paire, et $W$ idem mais avec les positions impaires. Par exemple si $U(\omega)=0,12481135...$ alors $V(\omega)=0,1413...$ et $W(\omega)=0,2815...$ . Il suffit alors de poser
$X=\sqrt{-2\ln V}\cos(2\pi W)$ et $Y=\sqrt{-2\ln V}\sin(2\pi W)$ (cf méthode de Box-Muller).
Le fait que $X$ et $Y$ puissent s'écrire en fonction de lois uniformes n'a rien n'anecdotique, c'est assuré par le théorème fondamental de la simulation.

Posté par re : Espace probabilité OMEGA 02-04-21 à 00:53

Comment faire plus clair merci beaucoup pour cette explication détaillée