Inscription / Connexion Nouveau Sujet
esperance
Bonsoir
je vous propose l'exercice suivant ; je dispose des entiers allant de 1 à n . j'effectue deux tirages successifs sans remise de deux entiers choisis au hasard , je note X la première valeur tirée et Y la seconde valeur tirée , Que valent E(X) et E(Y) ? 
Cliquez pour afficher
Bonjour,
@Ulmière
Ce n'est pas un coup de bol car cela revient à ordonner les entiers de 1 à n : le k-ième numéro suit la loi uniforme sur l'ensemble des entiers de 1 à n.
Bonjour à tous
on a E(Y)=
E(Y/X=j).P(X=j) pour j compris entre 1 et n avec E(Y/X=j)=yP(Y=y/X=j) pour j compris entre 1 et n et en tenant du fait que P(Y=j/X=j)=0 on a E(Y/X=j)=n(n+1)/2(n-1) - j/(n-1) alors E(Y)=(n(n+1)/2(n-1) - j/(n-1)).(1/n) = (1/n).(n²(n+1) - n²- n)/2(n-1) = (n²-1)/2(n-1)= (n+1)/2.
Bravo à tous 
Personnellement j'ai utilisé la méthode de jandri qui me semble beaucoup plus simple.
J'ai souvent donné des exercices de ce type pour montrer l'intérêt d'un raisonnement avant le calcul.
Bonjour,
@Ulmière
Ce n'est pas un coup de bol car cela revient à ordonner les entiers de 1 à n : le k-ième numéro suit la loi uniforme sur l'ensemble des entiers de 1 à n.
Oui je le sais bien, mais il faut prouver ce fait avant de l'utiliser.
Au final c'est plus court de passer par l'espérance conditionnelle, et pendant le calcul on voit bien que c'est vrai pour k itérations au lieu d'une
Bonjour,
le fait que le k-ième numéro suit la loi uniforme sur l'ensemble des entiers de 1 à n est très facile à démontrer :
il y a équiprobabilité sur les n! permutations de 1 à n et le nombre de permutations qui ont l'entier j en k-ième position est égal à (n-1)!
La probabilité que le k-ième soit égal à j est donc égale à 1/n (loi uniforme).
Annuler
connectez vous