Doit-on comprendre;

123   = deux paires 12 et 23
1234 =3 paires 12 ;23;34   ou seulement  12 et 34 ?

Curieusement ,si la réponse est positive on trouve moins que 1
pour n= 8--->0.875 paires en moyenne.

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J'en déduis que X=n-1/n

Bonjour,
@dpi
Pour 1234 il y a bien 3 paires consécutives croissantes.

L'espérance demandée vaut

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Si désigne le nombre de paires consécutives décroissantes on a et de plus car il y a autant de permutations ayant k paires consécutives croissantes que de permutations ayant k paires consécutives décroissantes (en renversant les permutations)

Bonjour Jandri,
j'obtiens un résultat différent du tien : je trouve (n-1)/n.
N'aurais-tu pas compté les paires montantes au sens large (a(k+1) > a(k)) plutôt que les seules paires consécutives exactes (a(k+1) = a(k) + 1) ?

Bonjour,
Ma réponse n'est pas n-1/n mais 1-1/n
je donne le tableau de mes résultats:

Bonjour,

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Soit Q une permutation de (1,2,...,n)
Pour chacune des positions p (de 1,...(n-1)) on a la variable aléatoire Xp avec Xp = 1 si Q(p+1) = Q(p) + 1 et sinon Xp = 0  
Nbre de paires consécutives dans l'ordre croissant X = Somme(de p=1 à (n-1)) Xp

Pour p fixé :
Il y a (n-1) possibilités pour un couple (Q(p),Q(p+1)) : (1,2), (2,3), … ((n-1),n)
Un couple fixé à la position (p,p+1), il y a (n-2)! manières de mettre les autres éléments.
On a donc (n-1)*(n-2)! = (n-1)! permutations qui conviennent.
La proba P(Xp = 1) = (n-1)!/n! = 1/n

La linéarité de l'espérance permet d'écrire :
Avec E(X_p) = P(Xp = 1) = 1/n, il vient :  

Bonjour flight,
tu as raison, je n'ai pas lu assez attentivement l'énoncé et j'ai compris "paires montantes au sens large, a(k+1) > a(k)".
Avec la bonne définition je trouve bien (n-1)/n ou encore 1-1/n avec la même démonstration que celle que vient de donner candide2.

suite
Je me suis aussi penché sur les paires successives croissantes :
exemple n=8:
12378456   12 23 78 45 56 donc  5 paires mais seulement  3 en progression.
Pour n=8 on obtient  35287 paires  dont 30757 croissantes (en comptant toujours la première)
Il semblerait qu'on passe de 1-1/n  à  (1-1/n)²
.
      

Bonsoir,
si on prend a(k+1) = a(k) + 1 modulo n, c'est à dire que 1 est le successeur de n, on a le résultat E(X)=1 qui ne dépend pas de n.
Je trouve ça amusant.

Bonjour,
une autre variante qui donne également E(X)=1 c'est d'étendre le "a(k+1) = a(k) + 1" à "a(1)=a(n)+1".

Mais si on combine les deux variantes, c'est-à-dire si on prend "a(k+1) = a(k) + 1 modulo n" et "a(1) = a(n) + 1 modulo n" on obtient E(X)=n/(n-1) qui dépend à nouveau de n.

Bonjour , bravo à candide2 et à jandri