Salut tout le monde, voici un exercice sur l'étude d'une application.
Soit E l'ensemble des suites réelles (Un , n > 0) positives telles que U1 > 0. Si x = (Un) est un élément de E, on note (Sn(x) , n > 0) la série entière qui lui est associée, R(x) le rayon de convergence, S(x) la somme de la série entière, et T(x) = (Vn) la suite de réels positifs telle que pour tout n > 0, Sn(x)(Vn) = 1.
1) Justifier que l'application T est bien définie, et montrer qu'elle réalise une bijection de E sur son ensemble image à préciser.
2) Montrer que pour tout x de E, T est continue en x pour la norme de la convergence uniforme si et seulement si l'une des deux propriétés est vérifiée:
  P1: R(x) est inférieur ou égal à 1.
  P2: R(x) > 1 et S(x)(1) est supérieur ou égal à 1.
Bonne recherche