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Niveau terminale
étude d'une configuration
Posté par tmk12
Bonjour, je n'arrive pas à résoudre le probléme suivant:
"Soit ABC un triangle.Une droite (
) coupe (BC),(CA) et (AB) en respectivement D,E et F.
La figure obtenue par ces quatre droites s'appelle un "quadrilatére complet" de sommet A,B,C,D,E,F.
On note M,N et P les milieux de ses "diagonales" [AD],[BE] et [CF].
1)Que peut t'on conjecturer quant aux points M,N et P?
2)Soient K et L les symétriques de A par rapport à N et P.Quelle est la nature des quadrilatéres ABKE et AFLC.
3)Soit h1 l'homothétie de centre D qui transforme B en C et h2 celle de centre D qui transforme E en F. Déterminer l'image de la droite (BK) par h2(h1)(composée) puis celle de la droite (EK) par h2(h1).Que peut on déduire pour les points D,K et L?
4)Conclure
2)Par construction, les quadrilatères et
ont leurs diagonales respectives qui se coupent en leur milieu: ce sont des parallèlogrammes.
Un nouveau dessin:
3) D' après la question précédente, et
L' image de par
est la parallèle à
passant par
:
C' est la droite
L' image de par
est la parallèle à
passant par
C' est la droite
L' image de la droite par
est donc la droite
La composition de deux homothéties de même centre est commutative:
on a
Il est plus pratique ici de déterminer l' image de par
On procède de même que précédemment pour trouver que:
L' image de la droite par
est la droite
.
L' image de l' intersection des deux droites
et
par
est donc l' intersection
des deux droites images
et
:
Et comme est une homothétie de centre
, on en déduit:
Les points sont alignés.
4) Si est l' homothétie de centre
et de rapport
, on a:
Une homothétie conservant l' alignement, on conclut:
Les points sont alignés.
