Niveau Préparation CRPE

Étude des fonctions

Posté par
bouchaib 21-01-24 à 22:03

Bonsoir,

     On considère la fonction f  et  g définies par :   $f(x)=\frac{1}{2}x^{3}     ;       g(x)=\sqrt {x+3}$
1. a.  Déterminer D_f et le tableau de variation de f,
      b. Déterminer D_{g[sub] et le tableau de variation de g

     c. Tracer  C[sub]f} et C_g dans un même repère orthonormé ,

2. On considère l'équation  E  :   $x^{3}-2\sqrt{x+3}=0$ ,
   a. Montrer que  :     $E\Leftrightarrow f(x)=g(x)$ et déduire graphiquement que E  admet une solution unique dans [-3; +[,
b.Montrer que :  1<<2.
  J'ai réussi à tout faire sauf une doute sur cette dernière question; j'ai procédé de la façon suivante:
    D'abord on l'observe graphiquement  : le point d'intersection des   2 courbes construites a une abscisse, effectivement, entre ]1; 2[.
Puis algébriquement :  on suppose que cette  unique solution,appartient à cet intervalle  et il faut montrer que 0 appartient à la différence des encadrements des images par ces 2 fonctions :   $1\prec \alpha \prec 2$     et  ]1;2[D_fD_g
    donc  :       $f(1)\prec f(\alpha )\prec f(2)    ;   -g(2)\prec- g(\alpha )\prec -g(1)$ ,
Alors       $0.5-\sqrt{5}\prec f(\alpha )-g(\alpha )\prec 4-2$
   $-1.73....\prec f(\alpha )-g(\alpha )\prec 2$ donc f(alpha)-g(alpha)=0 appartient à cet intervalle ; donc l'unique solution à l'équation E  appartient  à ]1;2[.
Merci par avance et pardon d'être long.

Posté par re : Étude des fonctions 21-01-24 à 23:47

Bonsoir bouchaib

Tout cela me paraît bien compliqué !!

Il suffit de remarquer que la fonction définie par $f(x) = x^{3}-2\sqrt{x+3}$ est continue et vérifie $\blue f(1) = -3 < 0$ et $\blue f(2) = 8-2\sqrt{5} > 0$ .

Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'au moins un $\alpha \in ]1,2[$ tel que $f(\alpha) = 0$

Vu que tu as montré l'existence d'une solution unique dans [-3,+[, c'est fini !

Posté par re : Étude des fonctions 21-01-24 à 23:57

Merci .
Pardon ,une information :
C'est un exercice qui fait partie d'un contrôle en maths niveau 1 bac sciences générales et donc les élèves n'ont pas ces acquis.
Je suis d'accord avec vous .
Mais ma réponse était en fonctio du programme de ce niveau .
Pardon encore.
Donc : je voudrais savoir si ma réponse est valable dans ces conditions .
Ou il y a autrement donc plus simple.
Merci par avance .